Construa o gráfico e calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva
,
em torno do eixo dos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico da função $ y = 2x^3 $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ e calcular a área da superfície que forma quando giramos esse arco ao redor do eixo dos $ x $. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre área de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o gráfico da função $ y = 2x^3 $ de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Essa é uma curva que começa no ponto (0,0) e sobe de forma crescente e acelerada até o ponto (2, 16), já que $ y = 2(2)^3 = 16 $.
Passo 3
Agora, para calcular a área da superfície gerada pela rotação dessa curva ao redor do eixo dos $ x $, usamos a fórmula da área de superfície de revolução. A fórmula geral é:
Aqui, $ y = 2x^3 $, $ a = 0 $ e $ b = 2 $.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, que é $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 5
Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula, temos:
Então, a raiz quadrada disso fica:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula da área:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Mudando os limites de integração:
- Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $
- Quando $ x = 2 $, $ u = 1 + 36(2)^4 = 1 + 36 \times 16 = 577 $
Então, a integral fica:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Portanto:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva $ y = 2x^3 $ de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ ao redor do eixo dos $ x $ é: