(0,5) Construa o gráfico e calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva y=2 x^3, 0 <= x <= 2 em torno do eixo dos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico da função $ y = 2x^3 $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ e calcular a área da superfície que forma quando giramos esse arco ao redor do eixo dos $ x $. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre área de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o gráfico da função $ y = 2x^3 $ de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Essa é uma curva que começa no ponto (0,0) e sobe de forma crescente e acelerada até o ponto (2, 16), já que $ y = 2(2)^3 = 16 $.

Passo 3

Agora, para calcular a área da superfície gerada pela rotação dessa curva ao redor do eixo dos $ x $, usamos a fórmula da área de superfície de revolução. A fórmula geral é:
x
Aqui, $ y = 2x^3 $, $ a = 0 $ e $ b = 2 $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, que é $ \frac{dy}{dx} $:
y

Passo 5

Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula, temos:
dydx
Então, a raiz quadrada disso fica:
1 + (dydx)^2 = 1 + (6x^2)^2 = 1 + 36x^4

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula da área:
S = 2pi integral0^2 2x^3 raiz1 + 36x^4 , dx = 4pi integral0^2 x^3 raiz1 + 36x^4 , dx

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
u = 1 + 36x^4 Rightarrow dudx = 144x^3 Rightarrow x^3 dx = du144
Mudando os limites de integração:
  • Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $
  • Quando $ x = 2 $, $ u = 1 + 36(2)^4 = 1 + 36 \times 16 = 577 $
Então, a integral fica:
x = 0

Passo 8

Resolvendo a integral:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Portanto:
S = pi36 times 23 [ u^3/2 ]1^577 = pi54 (577^3/2 - 1)

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva $ y = 2x^3 $ de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ ao redor do eixo dos $ x $ é:
y = 2x^3

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