Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s=t^3-12 t^2+36 t, t >= 0, em que t é medido em segundos e s, em metros.
Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

Passo 1

Temos o movimento dado por s(t)=t{3}-12t{2}+36t, que é um problema de cinemática escalar. Para saber quando a partícula está acelerando (velocidade aumentando) ou freando (velocidade diminuindo), precisamos encontrar a velocidade v(t)=s’(t) e a aceleração a(t)=s’’(t), depois analisar os sinais de v e a e aplicar a condição v·a>0 (acelera) e v·a<0 (freia).

Passo 2

Derivamos s(t) para obter a velocidade e a aceleração, usando derivadas de polinômios:
v(t)=s'(t)=3t^2-24t+36=3(t-2)(t-6)
a(t)=s''(t)=6t-24=6(t-4)

Passo 3

Identificamos os zeros de v em t=2 e t=6, e de a em t=4, e analisamos o sinal de v e a em cada intervalo:
• Para 0 ≤ t < 2: v(t)>0 e a(t)<0
• Para 2 < t < 4: v(t)<0 e a(t)<0
• Para 4 < t < 6: v(t)<0 e a(t)>0
• Para t > 6: v(t)>0 e a(t)>0

Passo 4

A condição para acelerar é v·a>0 (mesmo sentido) e para frear é v·a<0 (sentido oposto). A partir da análise de sinais acima, vamos identificar os intervalos em que cada caso ocorre.

Resposta

A partícula está acelerando (v·a>0) em 2 < t < 4 e em t > 6. Está freando (v·a<0) em 0 ≤ t < 2 e em 4 < t < 6.

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