Determine o comprimento de arco do gráfico da equação dada, de A a B.
y=6 raiz[3]x^2 ; A(-1,7), B(-8,25)

Passo 1

A questão pede o comprimento de arco da curva definida por y=6∛(x²)+1 entre os pontos A(–1,7) e B(–8,25). O conteúdo é comprimento de arco de função y(x), usando a fórmula L=∫√(1+(y’)²)dx, e vamos precisar derivar y(x) e calcular a integral.

Passo 2

Observando que os pontos não batem com y=6∛(x²), deduzimos que a função é y(x)=6∛(x²)+1. Como x está em [–8,–1], escrevemos ∛(x²)=|x|{2/3}=(-x){2/3}. A derivada é
y' = 6 cdot 23(-x)^-1/3cdot(-1) = -4,(-x)^-1/3

Passo 3

O comprimento de arco é
L=integralx=-1^x=-8 raiz1+[y'(x)]^2,dx = integral-1^-8 raiz1+16(-x)^2/3,dx

Passo 4

Para simplificar a integral, use a troca de variável
t = (-x)^{1/3}, então x = -t³, dx = -3t²dt. Quando x= -1, t=1; quando x=-8, t=2. O integrando vira
raiz1+16t^2 = raizt^2+16t
e assim
L = integralt=1^2 3traizt^2+16,dt

Passo 5

Para calcular integral1^2 traizt^2+16,dt, faça u=t²+16, du=2t dt. Então
L = 3integral1^2 traizt^2+16,dt = 32integral17^20 raizu,du = 32 cdot 23l[u^3/2r]17^20 = 20^3/2-17^3/2

Passo 6

Convertendo em forma radical, obtemos
L = 40raiz5 -17raiz17

Resposta

40\sqrt5 - 17\sqrt{17}

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