Determine o comprimento de arco do gráfico da equação dada, de
a
.
Passo 1
A questão pede o comprimento de arco da curva definida por y=6∛(x²)+1 entre os pontos A(–1,7) e B(–8,25). O conteúdo é comprimento de arco de função y(x), usando a fórmula L=∫√(1+(y’)²)dx, e vamos precisar derivar y(x) e calcular a integral.
Passo 2
Observando que os pontos não batem com y=6∛(x²), deduzimos que a função é y(x)=6∛(x²)+1. Como x está em [–8,–1], escrevemos ∛(x²)=|x|{2/3}=(-x){2/3}. A derivada é
Passo 3
O comprimento de arco é
Passo 4
Para simplificar a integral, use a troca de variável
t = (-x)^{1/3}, então x = -t³, dx = -3t²dt. Quando x= -1, t=1; quando x=-8, t=2. O integrando vira
t = (-x)^{1/3}, então x = -t³, dx = -3t²dt. Quando x= -1, t=1; quando x=-8, t=2. O integrando vira
e assim
Passo 5
Para calcular
, faça u=t²+16, du=2t dt. Então
Passo 6
Convertendo em forma radical, obtemos
Resposta
40\sqrt5 - 17\sqrt{17}