(0,5) Construa o gráfico e encontre a área da região limitada pela curva y=-4+x^2 e o eixo dos x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para construir o gráfico da função $ y = -4 + x^{2} $ e encontrar a área da região limitada por essa curva e pelo eixo dos $ x $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parábolas e como calcular áreas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a curva $ y = -4 + x^{2} $ intersecta o eixo dos $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $:
y = -4 + x^2
Resolvendo para $ x $:
x
Então, os pontos de interseção são $ x = -2 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos visualizar o gráfico da parábola $ y = -4 + x^{2} $. Essa é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo) e está deslocada 4 unidades para baixo devido ao termo constante -4.

Passo 4

Para encontrar a área da região limitada pela curva e pelo eixo dos $ x $, vamos calcular a integral definida de $ y = -4 + x^{2} $ de $ x = -2 $ a $ x = 2 $:
x Á
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo $ y $), podemos calcular o dobro da área de $ 0 $ a $ 2 $:
y = -4 + x^2 Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral (-4 + x^2) , dx = -4x + x^33
Agora, avaliamos de $ 0 $ a $ 2 $:
0
Como queremos a área, consideramos o valor absoluto:
2 Á
Então, a área total é:
[ -4(2) + (2)^33 ] - [ -4(0) + (0)^33 ] = (-8 + 83) - (0) = -163 Á

Resposta

A área da região limitada pela curva $ y = -4 + x^{2} $ e pelo eixo dos $ x $ é $ \frac{32}{3} $ unidades quadradas.

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