Construa o gráfico e encontre a área da região limitada pela curva
e o eixo dos
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para construir o gráfico da função $ y = -4 + x^{2} $ e encontrar a área da região limitada por essa curva e pelo eixo dos $ x $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parábolas e como calcular áreas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a curva $ y = -4 + x^{2} $ intersecta o eixo dos $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $:
Resolvendo para $ x $:
Então, os pontos de interseção são $ x = -2 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o gráfico da parábola $ y = -4 + x^{2} $. Essa é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo) e está deslocada 4 unidades para baixo devido ao termo constante -4.
Passo 4
Para encontrar a área da região limitada pela curva e pelo eixo dos $ x $, vamos calcular a integral definida de $ y = -4 + x^{2} $ de $ x = -2 $ a $ x = 2 $:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo $ y $), podemos calcular o dobro da área de $ 0 $ a $ 2 $:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de $ 0 $ a $ 2 $:
Como queremos a área, consideramos o valor absoluto:
Então, a área total é:
Resposta
A área da região limitada pela curva $ y = -4 + x^{2} $ e pelo eixo dos $ x $ é $ \frac{32}{3} $ unidades quadradas.