Construa o gráfico cartesiano da função em \mathbb{R} definida por f(x)=2^{2 x-1}.

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
f(x)=2^{2x-1},
definida em \mathbb{R}. O conteúdo é “função exponencial” e vamos usar as propriedades de escala e mudança de base para esboçar o gráfico de forma simples.

Passo 2

Reescrevemos a função de modo a reconhecer a forma padrão de uma exponencial. Note que
2^{2x-1}=2^{-1}\cdot2^{2x}=\frac12\,(2^2)^x=\frac12\cdot4^x.
Ou seja, f(x) é a função 4^x comprimida verticalmente por fator \tfrac12. Sabemos que 4^x é crescente, passa por (0,1) e tem assíntota horizontal y=0; após a escala vertical, a assíntota continua sendo y=0.

Passo 3

Escolhemos alguns pontos-chave para plotar:
- Para x=-1:
f(-1)=\frac12\cdot4^{-1}=\frac12\cdot\frac14=\frac1{8}.
- Para x=0:
f(0)=\frac12\cdot4^0=\frac12\cdot1=\frac12.
- Para x=\tfrac12:
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\frac12\cdot4^{1/2}=\frac12\cdot2=1.
- Para x=1:
f(1)=\frac12\cdot4^1=\frac12\cdot4=2.
- Para x=2:
f(2)=\frac12\cdot4^2=\frac12\cdot16=8.
Assim obtemos a tabela \,(-1,\tfrac18),\,(0,\tfrac12),\,(\tfrac12,1),\,(1,2),\,(2,8).

Passo 4

Analisamos o comportamento:
- Como base 4>1, a função é estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
- Quando x\to+\infty, f(x)\to+\infty.
- Quando x\to-\infty, f(x)\to0^+, definindo a assíntota horizontal y=0.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o sistema de eixos x e y.
  2. Marque a linha tracejada y=0 como assíntota horizontal.
  3. Plote os pontos obtidos em \

Passo 6

  1. Una-os com uma curva suave, crescente e que se aproxima de y=0 à esquerda e cresce rápido à direita.

Resposta

O gráfico de \;f(x)=2^{2x-1}\; é uma curva exponencial crescente com assíntota horizontal y=0, passando por
(-1,\tfrac18),\quad(0,\tfrac12),\quad(\tfrac12,1),\quad(1,2),\quad(2,8).
Ele se aproxima de y=0 quando x\to-\infty e cresce sem limite quando x\to+\infty.

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