Construa os gráficos das funções em \mathbb{R} definidas por:
f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}+1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{x}+1
enfatizando o comportamento de uma função exponencial de base a=\tfrac13 (com 0<a<1). Para isso, vamos:
– determinar domínio e imagem;
– achar a assíntota horizontal e os limites em \pm\infty;
– calcular alguns pontos-chave;
– usar tudo isso para traçar o esboço final.

Passo 2

Domínio e imagem.
Como toda exponencial, o domínio é \mathbb{R}. Para a imagem, note que \bigl(\tfrac13\bigr)^{x}>0 para todo x, logo
f(x)=\bigl(\tfrac13\bigr)^{x}+1>1.
Assim, a imagem é
(1,\infty).

Passo 3

Assíntota horizontal e limites.
Quando x\to+\infty, \bigl(\tfrac13\bigr)^{x}\to0, logo
\lim_{x\to+\infty}f(x)=1.
Isso indica a assíntota horizontal y=1. Quando x\to-\infty, \bigl(\tfrac13\bigr)^{x}=\bigl(3\bigr)^{-x}\to+\infty, então
\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.

Passo 4

Pontos-chave.
– Em x=0:
f(0)=\bigl(\tfrac13\bigr)^{0}+1=1+1=2.
– Em x=1:
f(1)=\tfrac13+1=\tfrac43.
– Em x=-1:
f(-1)=3+1=4.
Esses três pontos \bigl(-1,4\bigr), \bigl(0,2\bigr), \bigl(1,\tfrac43\bigr) nos dão o “formato” da curva.

Passo 5

Esboço do gráfico.
Trace a reta horizontal y=1 como assíntota. Coloque os pontos \bigl(-1,4\bigr), \bigl(0,2\bigr), \bigl(1,\tfrac43\bigr). Ligue-os por uma curva lisa, estritamente decrescente, que tende a +\infty quando x\to-\infty e se aproxima de y=1 para x\to+\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=\bigl(\tfrac13\bigr)^{x}+1 é uma curva exponencial decrescente com domínio \mathbb{R}, imagem (1,\infty), assíntota horizontal y=1, passando por (-1,4), (0,2) e \bigl(1,\tfrac43\bigr).

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