Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
que é uma quádrica de segundo grau e que queremos esboçar como um cone duplo. Para isso estudaremos seus traços em planos coordenados e planos transversais.
Passo 2
Reescrevendo a equação isolando
, temos
Isso mostra que para cada ponto
a altura
vem em “duas nappes” (positiva e negativa), características de um cone duplo.
Passo 3
Traços em planos horizontais
. Substituindo
na equação original:
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
Para
a elipse degenera no ponto
.
Passo 4
Traço no plano
. Substituindo
:
Esse traço degenera em duas retas passando pela origem, de inclinação
no plano
-
.
Passo 5
Traço no plano
. Substituindo
:
Novamente duas retas no plano
-
, de inclinação
.
Passo 6
Síntese do esboço. A superfície é um cone duplo centrado na origem, com eixo de simetria ao longo de
. Cada “fatia” horizontal
é uma elipse que cresce linearmente com
. Nas seções pelos planos coordenados
e
aparecem retas que definem as geratrizes do cone.
Resposta
O gráfico é um cone duplo com eixo sobre
, dado por
cujo traço em
é uma elipse de semi-eixos
e
, e cujos traços em
e
são as retas
e
, respectivamente.