Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} \;-\;\frac{z^{2}}{9} \;=\;0,
que é uma quádrica de segundo grau e que queremos esboçar como um cone duplo. Para isso estudaremos seus traços em planos coordenados e planos transversais.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando z^{2}, temos
z^{2} \;=\;9\Bigl(\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}\Bigr) \;\Longrightarrow\; z \;=\;\pm 3\sqrt{\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}}.
Isso mostra que para cada ponto (x,y) a altura z vem em “duas nappes” (positiva e negativa), características de um cone duplo.

Passo 3

Traços em planos horizontais z = z_{0}\neq 0. Substituindo z=z_{0} na equação original:
\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = \frac{z_{0}^{2}}{9}.
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
a = 4\,\frac{|z_{0}|}{3}, \quad b = 2\,\frac{|z_{0}|}{3}.
Para z_{0}=0 a elipse degenera no ponto (0,0,0).

Passo 4

Traço no plano x=0. Substituindo x=0:
\frac{y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{9} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{y^{2}}{4} = \frac{z^{2}}{9} \;\Longrightarrow\; z = \pm \frac{3}{2}\,y.
Esse traço degenera em duas retas passando pela origem, de inclinação \pm3/2 no plano y- z.

Passo 5

Traço no plano y=0. Substituindo y=0:
\frac{x^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{9} = 0 \;\Longrightarrow\; z = \pm \frac{3}{4}\,x.
Novamente duas retas no plano x- z, de inclinação \pm3/4.

Passo 6

Síntese do esboço. A superfície é um cone duplo centrado na origem, com eixo de simetria ao longo de z. Cada “fatia” horizontal z=z_{0} é uma elipse que cresce linearmente com |z_{0}|. Nas seções pelos planos coordenados x=0 e y=0 aparecem retas que definem as geratrizes do cone.

Resposta

O gráfico é um cone duplo com eixo sobre z, dado por
z = \pm 3\sqrt{\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}},
cujo traço em z=z_{0} é uma elipse de semi-eixos 4|z_{0}|/3 e 2|z_{0}|/3, e cujos traços em x=0 e y=0 são as retas z=\pm\frac{3}{2}y e z=\pm\frac{3}{4}x, respectivamente.

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