Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=0.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície dada por
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 0
e um estudo dos traços (interseções com planos do tipo z=z_{0}, x=x_{0} e y=y_{0}). O conteúdo envolve classificação de superfícies quadráticas e análise de seções cônicas.

Passo 2

Vamos pôr a equação num formato mais familiar. Multiplicando tudo por 4, obtém‐se
x^{2} + \frac{y^{2}}{4} - z^{2} = 0
Isso é uma forma quadrática de assinatura (+,+,-), indicando um cone duplo (duas napas) com vértice na origem e eixo de simetria ao longo de z.

Passo 3

Traços horizontais z=z_{0}:
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = \frac{z_{0}^{2}}{4}.
  • Se z_{0}=0, sobra \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=0, isto é, apenas o ponto (0,0,0).
  • Se z_{0}\neq0, temos uma elipse de semi-eixos \displaystyle a=\;2\frac{|z_{0}|}{2}=|z_{0}| em x e \displaystyle b=\;4\frac{|z_{0}|}{2}=2|z_{0}| em y.

Passo 4

Traços verticais em planos x=x_{0} e y=y_{0}:
  1. Plano x=x_{0}:
\frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = -\frac{x_{0}^{2}}{4} \;\Longrightarrow\;\frac{z^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = \frac{x_{0}^{2}}{4}.
Para x_{0}\neq0 é uma hipérbole com eixo vertical z. Se x_{0}=0, degenera em duas retas:
\displaystyle y=\pm2z.
  1. Plano y=y_{0}:
\frac{x^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{4} = -\frac{y_{0}^{2}}{16} \;\Longrightarrow\;\frac{z^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} = \frac{y_{0}^{2}}{16},
também uma hipérbole para y_{0}\neq0 (e duas retas x=\pm z se y_{0}=0).

Passo 5

Concluímos que a superfície é um cone duplo elíptico de vértice na origem e simetria em relação ao eixo z. As seções horizontais são elipses crescentes conforme |z| aumenta, e as seções verticais são hipérboles (ou retas degeneradas) passando pelo vértice.

Resposta

O gráfico é um cone duplo elíptico com vértice em (0,0,0), eixo de simetria ao longo de z, seções horizontais elipses de equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=\frac{z^{2}}{4},
e seções verticais hipérboles (nos planos x=\text{const} e y=\text{const}), degenerando em retas y=\pm2z e x=\pm z quando o parâmetro da seção é zero.

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