Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície dada por
e um estudo dos traços (interseções com planos do tipo
,
e
). O conteúdo envolve classificação de superfícies quadráticas e análise de seções cônicas.
Passo 2
Vamos pôr a equação num formato mais familiar. Multiplicando tudo por
, obtém‐se
Isso é uma forma quadrática de assinatura
, indicando um cone duplo (duas napas) com vértice na origem e eixo de simetria ao longo de
.
Passo 3
Traços horizontais
:
- Se
, sobra , isto é, apenas o ponto . - Se
, temos uma elipse de semi-eixos em e em .
Passo 4
Traços verticais em planos
e
:
- Plano
:
Para
é uma hipérbole com eixo vertical
. Se
, degenera em duas retas:
.
- Plano
:
também uma hipérbole para
(e duas retas
se
).
Passo 5
Concluímos que a superfície é um cone duplo elíptico de vértice na origem e simetria em relação ao eixo
. As seções horizontais são elipses crescentes conforme
aumenta, e as seções verticais são hipérboles (ou retas degeneradas) passando pelo vértice.
Resposta
O gráfico é um cone duplo elíptico com vértice em
, eixo de simetria ao longo de
, seções horizontais elipses de equação
e seções verticais hipérboles (nos planos
e
), degenerando em retas
e
quando o parâmetro da seção é zero.