Identifique a quádrica, esboce as curvas de nível e a quádrica.
(x-1)^2+(y-2)^2-4=0

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A gente tem a superfície definida pela equação (x-1)^2 + (y-2)^2 - 4 = 0 Isso é um exemplo de quádricas em R^3, e vamos precisar entender como classificar superfícies de segundo grau, como obter curvas de nível (interseções com planos horizontais) e como esboçar a forma 3D.

Passo 2

Classificação da quádrica: Note que a equação não envolve z. Teoricamente, quadricas em x,y,z de grau 2 que não dependem de uma variável são cilindros. Aqui,
(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 é a interseção em qualquer plano z = k. Como isso descreve um círculo de raio 2 centrado em (1,2), concluímos que a superfície é um cilindro circular reto de eixo paralelo ao eixo z.

Passo 3

Obtenção das curvas de nível: Curvas de nível, no contexto de superfícies implícitas, são as interseções com planos z=k. Para cada valor fixo z=k temos
(x-1)^2 + (y-2)^2 - 4 = 0 Longrightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4
Isso é sempre o mesmo círculo de raio 2 em planos paralelos ao plano xy. Em particular, nos planos z=0, z=2 e z=4, a curva de nível é sempre um círculo centrado em (1,2,z) com raio 2.

Passo 4

Esboço da superfície 3D: Para desenhar o cilindro, imagine o círculo de raio 2 centrado em (1,2) no plano xy e depois “puxe” esse círculo para cima e para baixo ao longo do eixo z. Assim obtemos um cilindro infinito (ou de comprimento que você quiser) cujo eixo é paralelo a z e passa por (1,2,0).

Resposta

A superfície é um cilindro circular reto de raio 2, com eixo paralelo ao eixo z e centrado na reta x=1, y=2.

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