1. Construa o gráfico da função f(x)= -2+\operatorname{sen} x. Determine também domínio e imagem de f. (Dica: preencha a tabela abaixo para facilitar a construção)
x \operatorname{sen} x -2+\operatorname{sen} x
0
\frac{\pi}{2}
\pi
\frac{3 \pi}{2}
2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico de f(x)=-2+\sin x, além de determinar seu domínio e sua imagem. O conteúdo envolvido é transformação vertical de funções trigonométricas (deslocamento para baixo) e identificação de domínio e imagem a partir da função básica \sin x.

Passo 2

A função \sin x está definida para todo x\in\mathbb{R}. Como f(x) é obtida a partir de \sin x apenas por uma soma constante, o domínio de f também é todo o conjunto dos números reais:
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í

Passo 3

Sabemos que
\sin x\in[-1,1]\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Logo, ao somar -2,
-2+\sin x\in[-2+(-1),\;-2+1]=[-3,\,-1].
Portanto, a imagem de f é
\text{Imagem}(f)=[-3,-1].

Passo 4

Para facilitar o esboço do gráfico, preenchemos a tabela nos pontos mais importantes de um período 2\pi:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \sin x & -2+\sin x\\\ \hline 0 & 0 & -2\\\ \hline \displaystyle \frac{\pi}{2} & 1 & -1\\\ \hline \pi & 0 & -2\\\ \hline \displaystyle \frac{3\pi}{2} & -1 & -3\\\ \hline 2\pi & 0 & -2\\\ \hline \end{array}

Passo 5

O gráfico de f(x) é o mesmo da curva y=\sin x deslocado 2 unidades para baixo. Assim:
  1. A linha média do sinal é y=-2.
  2. A amplitude é 1, os valores máximo e mínimo são -1 e -3.
  3. O período continua sendo 2\pi.
  4. Os pontos da tabela marcam um ciclo completo, permitindo esboçar a oscilação senoidal.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-3,-1]
Gráfico: seno de amplitude 1 e período 2\pi com deslocamento vertical de -2.

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