( 6,0 ptos) Calcule as integrais abaixo
\int_{\gamma}\left[\left(4 x y^{2}\right)+\imath\left(x y^{2}+x^{2} y\right)\right] \mathrm{d} z ao longo do segmento de reta \gamma que liga os pontos z_{0}=0 e z_{1}=1+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\bigl[4xy^{2}+ \imath\,(xy^{2}+x^{2}y)\bigr]\,\mathrm{d}z
ao longo do segmento de reta \gamma que vai de z_{0}=0 até z_{1}=1+\imath.
O conteúdo aqui é parametrização de curva no plano complexo e substituição na integral.

Passo 2

Parametrizamos a reta ligando 0 a 1+\imath por
z(t)=t(1+\imath), \quad t\in[0,1].
Então as coordenadas reais e imaginárias são
x(t)=\Re(z(t))=t, \quad y(t)=\Im(z(t))=t,
e
\mathrm{d}z=(1+\imath)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Substituímos na parte real e imaginária do integrando:
4x\,y^{2}+ \imath\,(x y^{2}+x^{2}y) =4\,t\cdot t^{2}+\imath\bigl(t\cdot t^{2}+t^{2}\cdot t\bigr) =4t^{3}+2\imath\,t^{3}.
Logo o integrando completo vezes \mathrm{d}z é
\bigl(4t^{3}+2\imath\,t^{3}\bigr)(1+\imath)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Multiplicamos os fatores complexos:
(4+2\imath)(1+\imath) =4+4\imath+2\imath+2\imath^{2} =4+6\imath-2 =2+6\imath.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{1}(2+6\imath)\,t^{3}\,\mathrm{d}t =(2+6\imath)\int_{0}^{1}t^{3}\,\mathrm{d}t =(2+6\imath)\cdot\frac{1}{4}.

Passo 5

Calculando o produto final:
(2+6\imath)\,\frac{1}{4} =\frac{2}{4}+\frac{6}{4}\imath =\frac12+\frac{3}{2}\imath.

Resposta

\int_{\gamma}\bigl[4xy^{2}+\imath(xy^{2}+x^{2}y)\bigr]\,\mathrm{d}z =\frac12+\frac{3}{2}\imath.

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