( 6,0 ptos) Calcule as integrais abaixo
\oint_{C} \frac{z^{2} \cdot d z}{(z+2 t)^{2}(z-1)} onde C é um círculo de raio 5 centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede
\oint_{C}\frac{z^{2}\,dz}{(z+2t)^{2}(z-1)},
onde C é o círculo \lvert z\rvert=5 percorrido positivamente.
Vamos usar o Teorema dos Resíduos: a integral vale 2\pi i vezes a soma dos resíduos de
f(z)=\frac{z^{2}}{(z+2t)^{2}(z-1)}
nos polos que estão dentro de \lvert z\rvert<5.

Passo 2

Identificamos os polos de f:
  1. z=1, polo simples;
  2. z=-2t, polo de segunda ordem.
    O ponto z=1 está sempre dentro de C. Já z=-2t fica dentro de \lvert z\rvert<5 se e somente se
\lvert -2t\rvert <5\quad\Longleftrightarrow\quad \lvert t\rvert<2{,}5.

Passo 3

Residuo em z=1 (polo simples):
\Res(f,1) =\lim_{z\to1}(z-1)\frac{z^{2}}{(z+2t)^{2}(z-1)} =\frac{1^{2}}{(1+2t)^{2}} =\frac{1}{(1+2t)^{2}}.

Passo 4

Residuo em z=-2t (polo duplo):
\Res(f,-2t) =\lim_{z\to -2t}\frac{d}{dz}\Bigl[(z+2t)^{2}f(z)\Bigr] =\lim_{z\to -2t}\frac{d}{dz}\frac{z^{2}}{z-1}.
Calculamos a derivada:
\frac{d}{dz}\frac{z^{2}}{z-1} =\frac{2z(z-1)-z^{2}}{(z-1)^{2}} =\frac{z^{2}-2z}{(z-1)^{2}} =\frac{z(z-2)}{(z-1)^{2}}.
Logo
\Res(f,-2t) =\frac{(-2t)\bigl(-2t-2\bigr)}{\bigl(-2t-1\bigr)^{2}} =\frac{4t^{2}+4t}{(2t+1)^{2}} =\frac{4t(t+1)}{(2t+1)^{2}}.

Passo 5

Agora somamos os resíduos dentro de C.
Caso \lvert t\rvert<2{,}5, ambos estão dentro, e
\Res(f,1)+\Res(f,-2t) =\frac{1}{(2t+1)^{2}}+\frac{4t(t+1)}{(2t+1)^{2}} =\frac{1+4t^{2}+4t}{(2t+1)^{2}} =\frac{(2t+1)^{2}}{(2t+1)^{2}} =1.
Portanto
\oint_{C}f(z)\,dz =2\pi i\cdot 1 =2\pi i.
Caso \lvert t\rvert>2{,}5, somente z=1 está dentro, então
\oint_{C}f(z)\,dz =2\pi i\;\Res(f,1) =2\pi i\,\frac{1}{(1+2t)^{2}}.
Para \lvert t\rvert=2{,}5, o polo z=-2t fica sobre o contorno e a integral não é bem definida.

Resposta

Se \lvert t\rvert<2{,}5,
\oint_{C}\frac{z^{2}\,dz}{(z+2t)^{2}(z-1)}=2\pi i.
Se \lvert t\rvert>2{,}5,
\oint_{C}\frac{z^{2}\,dz}{(z+2t)^{2}(z-1)} =2\pi i\,\frac{1}{(1+2t)^{2}}.
Para \lvert t\rvert=2{,}5, o polo de ordem 2 fica na fronteira e a integral não está definida.

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