( 6,0 ptos) Calcule as integrais abaixo
onde
é um círculo de raio 5 centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede
onde
é o círculo
percorrido positivamente.
Vamos usar o Teorema dos Resíduos: a integral vale vezes a soma dos resíduos de
Vamos usar o Teorema dos Resíduos: a integral vale
nos polos que estão dentro de
.
Passo 2
Identificamos os polos de
:
-
, polo simples; -
, polo de segunda ordem.
O pontoestá sempre dentro de . Já fica dentro de se e somente se
Passo 3
Residuo em
(polo simples):
Passo 4
Residuo em
(polo duplo):
Calculamos a derivada:
Logo
Passo 5
Agora somamos os resíduos dentro de
.
Caso , ambos estão dentro, e
Caso
Portanto
Caso
, somente
está dentro, então
Para
, o polo
fica sobre o contorno e a integral não é bem definida.
Resposta
Se
,
Se
,
Para
, o polo de ordem 2 fica na fronteira e a integral não está definida.