Construa o gráfico e determine o domínio da função f(x)=\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right).
D =

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico de
f(x)=\tan\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)
e determinar o domínio. O conteúdo aqui é deslocamento horizontal da função tangente e identificação de suas assíntotas (onde o cosseno do argumento é zero). Precisamos usar (1) a definição de domínio de \tan, (2) a periodicidade da tangente e (3) o efeito de translação horizontal no gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que
\tan u = \frac{\operatorname{sen} u}{\cos u}
exige \cos u \neq 0. Aqui u = x + \tfrac{\pi}{4}, logo
\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+\tfrac{\pi}{4}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Dessa condição isolamos x:
x \neq \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x \neq \frac{\pi}{4}+k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.
Esses são os valores que geram assíntotas verticais no gráfico.

Passo 4

A tangente tem período \pi. Logo, no eixo x as assíntotas ocorrem em
x = \dots,-\tfrac{3\pi}{4},\;\tfrac{\pi}{4},\;\tfrac{5\pi}{4},\;\dots
e em cada intervalo \bigl(\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\tfrac{\pi}{4}+(k+1)\pi\bigr) desenhamos um ramo crescente, com formato padrão de \tan.

Passo 5

Para marcar pontos notáveis, achamos zero e valores \pm1:
  • Zero de f quando x+\tfrac{\pi}{4}=0+k\pi, isto é x = k\pi - \tfrac{\pi}{4}.No trecho central ( k=0) temos x=-\tfrac{\pi}{4} com f(-\tfrac{\pi}{4})=0.
  • Pontos onde f(x)=1 quando x+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}+k\pi, dá x=k\pi. Em particular f(0)=1.
  • Pontos onde f(x)=-1 quando x+\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi, dá x=k\pi-\tfrac{\pi}{2}. Em particular f(-\tfrac{\pi}{2})=-1.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  1. Desenhe assíntotas verticais em x=\dots,-\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\dots.
  2. Entre cada par consecutivo de assíntotas faça um ramo de \tan crescente, passando pelos pontos calculados (por exemplo no ramo central passa por (-{\pi}/{2},-1),(-{\pi}/{4},0),(0,1)).
  3. Repita com período \pi para cobrir toda a reta.

Resposta

O domínio de f é
\boxed{\,\mathbb{R}\setminus\bigl\{\,\tfrac{\pi}{4}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\bigr\}\,.}

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