Construa o gráfico das funções reais:
y=-|x-a|+a

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede para construir o gráfico da função real \,y=-|x-a|+a\,, onde x é a variável real e a é um parâmetro real (fixo, mas arbitrário).
  • Informações relevantes:
    • Domínio: todos os x\in\mathbb{R}.
    • Há valor absoluto |x-a|, que cria uma “quebra” no comportamento da função no ponto x=a.
  • Objetivo: obter uma forma mais simples (peça por peça), identificar vértice, inclinações (retas) e interceptos, e então descrever como desenhar o gráfico para qualquer a.

Passo 2

Entender o valor absoluto e dividir a função em casos (essa é a técnica chave).
A definição peça-a-peça do valor absoluto é
|x-a|= \begin{cases} x-a,& x\ge a,\\[4pt] a-x,& x\le a. \end{cases}
Vamos substituir em [,y=-|x-a|+a,) nos dois casos:
  • Para x\ge a: |x-a|=x-a. Então
y = -(x-a)+a = -x+a+a = -x+2a.
  • Para x\le a: |x-a|=a-x. Então
y = -(a-x)+a = -a+x+a = x.
Portanto a função fica escrita peça-a-peça como
y= \begin{cases} x,& x\le a,\\[4pt] -x+2a,& x\ge a. \end{cases}
Isso já diz: o gráfico é formado por duas retas que se encontram em (x=a].]

Passo 3

Encontrar o vértice (ponto de encontro) e explicar a forma do gráfico.
  • Avaliando em x=a em qualquer uma das peças:
y(a)=a.
Logo as duas retas se encontram no ponto (a,a). Esse ponto é o máximo da função porque à esquerda (para x<a) a reta tem inclinação +1 (sobe até o ponto) e à direita (para x>a) a reta tem inclinação -1 (desce a partir do ponto). Então o gráfico é um “V” invertido (ou um “Λ”), com vértice no ponto (a,a).
  • Continuidade: como os dois ramos coincidem em (a,a), a função é contínua em todos os pontos. A derivada não existe em x=a por causa da mudança de inclinação (cúspide).

Passo 4

Identificar inclinações, domínio e imagem (intervalo de valores).
  • Inclinações (pendentes): para x<a a reta é y=x (inclinação +1); para x>a a reta é y=-x+2a (inclinação -1).
  • Domínio: todos os reais, \mathbb{R}.
  • Máximo: o valor máximo é y_{\max}=a alcançado em x=a.
  • Imagem (contraste): como as retas tendem a -\infty quando |x|\to\infty, o conjunto de valores é
\{y\in\mathbb{R}\mid y\le a\} = (-\infty,a].

Passo 5

Calcular interceptos (pontos onde corta os eixos), dependendo do sinal de a.
  • Interseção com o eixo x (resolver y=0):
0=-|x-a|+a\quad\Longrightarrow\quad |x-a|=a.
Se a<0 a equação |x-a|=a não tem solução (pois |x-a|\ge0 e o lado direito é negativo). Se a\ge0 então
x-a=\pm a \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2a.
Logo:
  • Se a>0: interceptos em (0,0) e (2a,0).
  • Se a=0: intercepto único em (0,0).
  • Se a<0: nenhum intercepto com o eixo x.
  • Interseção com o eixo y (colocar x=0):
y(0) = -|0-a|+a = -|a|+a = a-|a|.
Isso dá:
  • Se a\ge0: y(0)=0.
  • Se a<0: y(0)=2a (negativo).
Observação prática: quando a\ge0 o gráfico passa por (0,0) e por (2a,0); quando a<0 o gráfico fica inteiramente abaixo do eixo x.

Passo 6

Como desenhar o gráfico passo a passo (receita pronta para a prova).
  1. Marque no plano o ponto (a,a) — é o vértice (máximo).
  2. Desenhe para a esquerda de x=a a reta y=x (só até o ponto x=a), isto é, uma linha com inclinação +1 que passa por (a,a).
  3. Desenhe para a direita de x=a a reta y=-x+2a (só a partir de x=a), uma linha com inclinação -1 que também passa por (a,a).
  4. Marque interceptos conforme o caso:
    • Se a>0: marque (0,0) e (2a,0).
    • Se a=0: tudo se reduz a uma única cúspide no (0,0).
    • Se a<0: não há corte com o eixo x; marque o ponto (0,2a) no eixo y se quiser.
  5. A função é simétrica em relação à reta vertical x=a (os dois ramos são reflexos um do outro em x=a).

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para fixar (faça isso na prova se ficar inseguro).
  • Exemplo 1: a=2.
    • Ramo esquerdo: y=x para x\le 2.
    • Ramo direito: y=-x+4 para x\ge 2.
    • Vértice em (2,2). Interceptos em (0,0) e (4,0).
  • Exemplo 2: a=-1.
    • Ramo esquerdo: y=x para x\le -1.
    • Ramo direito: y=-x-2 para x\ge -1.
    • Vértice em (-1,-1). Não corta o eixo x. Corta o eixo y em (0,2a)=(0,-2).

Resposta

O gráfico é dado pelas duas retas que se encontram em (a,a)\): \[y= \begin{cases} x,& x\le a,\\[4pt] -x+2a,& x\ge a. \end{cases}
Vértice (máximo): (a,a)\]. Domínio: \(\mathbb{R}. Imagem: (-\infty,a]. Interceptos com o eixo x: se a\ge0 em (0,0) e (2a,0); se a<0 nenhum. Intercepto com o eixo y: y(0)=a-|a| (ou seja, 0 se a\ge0 e 2a se a<0).]

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