Construa o gráfico das funções reais:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede para construir o gráfico da função real
, onde é a variável real e é um parâmetro real (fixo, mas arbitrário). - Informações relevantes:
- Domínio: todos os
. - Há valor absoluto
, que cria uma “quebra” no comportamento da função no ponto .
- Domínio: todos os
- Objetivo: obter uma forma mais simples (peça por peça), identificar vértice, inclinações (retas) e interceptos, e então descrever como desenhar o gráfico para qualquer
.
Passo 2
Entender o valor absoluto e dividir a função em casos (essa é a técnica chave).
A definição peça-a-peça do valor absoluto é
Vamos substituir em [,y=-|x-a|+a,) nos dois casos:
- Para
: . Então
- Para
: . Então
Portanto a função fica escrita peça-a-peça como
Isso já diz: o gráfico é formado por duas retas que se encontram em (x=a].]
Passo 3
Encontrar o vértice (ponto de encontro) e explicar a forma do gráfico.
- Avaliando em
em qualquer uma das peças:
Logo as duas retas se encontram no ponto
. Esse ponto é o máximo da função porque à esquerda (para
) a reta tem inclinação
(sobe até o ponto) e à direita (para
) a reta tem inclinação
(desce a partir do ponto). Então o gráfico é um “V” invertido (ou um “Λ”), com vértice no ponto
.
- Continuidade: como os dois ramos coincidem em
, a função é contínua em todos os pontos. A derivada não existe em por causa da mudança de inclinação (cúspide).
Passo 4
Identificar inclinações, domínio e imagem (intervalo de valores).
- Inclinações (pendentes): para
a reta é (inclinação ); para a reta é (inclinação ). - Domínio: todos os reais,
. - Máximo: o valor máximo é
alcançado em . - Imagem (contraste): como as retas tendem a
quando , o conjunto de valores é
Passo 5
Calcular interceptos (pontos onde corta os eixos), dependendo do sinal de
.
- Interseção com o eixo
(resolver ):
Se
a equação
não tem solução (pois
e o lado direito é negativo). Se
então
Logo:
-
Se
: interceptos em e . -
Se
: intercepto único em . -
Se
: nenhum intercepto com o eixo . -
Interseção com o eixo
(colocar ):
Isso dá:
- Se
: . - Se
: (negativo).
Observação prática: quando
o gráfico passa por
e por
; quando
o gráfico fica inteiramente abaixo do eixo
.
Passo 6
Como desenhar o gráfico passo a passo (receita pronta para a prova).
- Marque no plano o ponto
— é o vértice (máximo). - Desenhe para a esquerda de
a reta (só até o ponto ), isto é, uma linha com inclinação que passa por . - Desenhe para a direita de
a reta (só a partir de ), uma linha com inclinação que também passa por . - Marque interceptos conforme o caso:
- Se
: marque e . - Se
: tudo se reduz a uma única cúspide no . - Se
: não há corte com o eixo ; marque o ponto no eixo se quiser.
- Se
- A função é simétrica em relação à reta vertical
(os dois ramos são reflexos um do outro em ).
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para fixar (faça isso na prova se ficar inseguro).
-
Exemplo 1:
. - Ramo esquerdo:
para . - Ramo direito:
para . - Vértice em
. Interceptos em e .
- Ramo esquerdo:
-
Exemplo 2:
. - Ramo esquerdo:
para . - Ramo direito:
para . - Vértice em
. Não corta o eixo . Corta o eixo em .
- Ramo esquerdo:
Resposta
O gráfico é dado pelas duas retas que se encontram em
Vértice (máximo):
. Imagem:
. Interceptos com o eixo
: se
em
e
; se
nenhum. Intercepto com o eixo
:
(ou seja,
se
e
se
).]