Construa o gráfico de uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que seja ímpar, mas não injetiva.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico de uma função \displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
que seja ímpar (isto é, satisfaça \,f(-x)=-f(x)\,) e, ao mesmo tempo, não seja injetiva (isto é, existam x_1\neq x_2 tais que f(x_1)=f(x_2)). Vamos usar conceitos de simetria de gráficos e critério de injetividade.

Passo 2

Uma função é ímpar quando seu gráfico é simétrico em relação à origem: o ponto (x,f(x)) corresponde ao ponto (-x,-f(x)).
Para não ser injetiva, basta que haja pelo menos dois x distintos com a mesma imagem. Por exemplo, se f(a)=f(b) com a\neq b, então f não é um a–um.

Passo 3

Uma escolha clássica que atende aos dois requisitos é
f(x)=\sin x.
Verificações:
  1. Ímpar: para todo real x
f(-x)=\sin(-x)=-\sin x=-f(x).
  1. Não injetiva: por exemplo,
f\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr)=\tfrac{1}{2} \quad\text{e}\quad f\Bigl(\tfrac{5\pi}{6}\Bigr)=\tfrac{1}{2},
com \tfrac{\pi}{6}\neq\tfrac{5\pi}{6}.

Passo 4

O gráfico de \sin x é a curva periódica de amplitude 1, que passa por zeros em x=k\pi k\in\mathbb{Z}, atinge +1 em x=\frac{\pi}{2}+2k\pi e -1 em x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi. Ele é simétrico em relação à origem e repete-se a cada período 2\pi, exibindo claramente casos de mesma imagem para abscissas distintas.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz as condições é
f(x)=\sin x,
cujo gráfico é a conhecida onda senoidal, ímpar e não injetiva.

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