Construa o gráfico de uma função
que seja ímpar, mas não injetiva.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico de uma função
que seja ímpar (isto é, satisfaça ) e, ao mesmo tempo, não seja injetiva (isto é, existam
tais que
). Vamos usar conceitos de simetria de gráficos e critério de injetividade.
que seja ímpar (isto é, satisfaça
Passo 2
Uma função é ímpar quando seu gráfico é simétrico em relação à origem: o ponto
corresponde ao ponto
.
Para não ser injetiva, basta que haja pelo menos dois distintos com a mesma imagem. Por exemplo, se
com
, então
não é um a–um.
Para não ser injetiva, basta que haja pelo menos dois
Passo 3
Uma escolha clássica que atende aos dois requisitos é
Verificações:
- Ímpar: para todo real
- Não injetiva: por exemplo,
com
.
Passo 4
O gráfico de
é a curva periódica de amplitude
, que passa por zeros em
, atinge
em
e
em
. Ele é simétrico em relação à origem e repete-se a cada período
, exibindo claramente casos de mesma imagem para abscissas distintas.
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz as condições é
cujo gráfico é a conhecida onda senoidal, ímpar e não injetiva.