Simplifique as expressões:
\frac{x^{1 / 3}-2^{1 / 3}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede simplificar
\frac{x^{1/3}-2^{1/3}}{x-2}.
O conteúdo aqui é fatoração de diferença de cubos, pois podemos escrever x=(x^{1/3})^3 e 2=(2^{1/3})^3. Vamos usar a fórmula
a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + a b + b^2).

Passo 2

Definimos
a = x^{1/3}, \quad b = 2^{1/3}.
Então o numerador é a - b e o denominador é
a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + a b + b^2).
Logo
\frac{a - b}{a^3 - b^3} = \frac{a - b}{(a - b)(a^2 + a b + b^2)} = \frac{1}{a^2 + a b + b^2}.

Passo 3

Substituindo de volta a e b:
a^2 = x^{2/3}, \quad a b = x^{1/3}\,2^{1/3}, \quad b^2 = 2^{2/3}.
Portanto
\frac{1}{a^2 + a b + b^2} = \frac{1}{x^{2/3} + x^{1/3}2^{1/3} + 2^{2/3}}.

Resposta

\frac{x^{1/3}-2^{1/3}}{x-2} = \frac{1}{x^{2/3} + x^{1/3}2^{1/3} + 2^{2/3}}.

Exercícios relacionados