Existe uma função decrescente que não é injetiva? Por quê? E uma função crescente que não é injetiva?

Passo 1

O enunciado pergunta se existem funções monotônicas (decrescente ou crescente) que não sejam injetivas. Para responder, precisamos lembrar duas definições:
– Uma função f\colon D\to\mathbb{R} é decrescente (ou não–crescente) se, sempre que x_1<x_2 em D, vale
f(x_1)\ge f(x_2).
– Uma função f\colon D\to\mathbb{R} é injetiva se f(x_1)=f(x_2) implica x_1=x_2.

Passo 2

Para que uma função monotônica deixe de ser injetiva, basta que ela assume o mesmo valor em dois pontos distintos. O caso mais simples é uma função constante, pois ela “plateau” em toda parte.

Passo 3

Considere a função constante
f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=c,
onde c é um número fixo.
  1. Se x_1<x_2, então
f(x_1)=c\quad\text{e}\quad f(x_2)=c
logo f(x_1)=c\ge c=f(x_2). Isso mostra que f é decrescente.
2. Mas f(x_1)=f(x_2) para quaisquer x_1 e x_2, mesmo quando x_1\neq x_2. Logo, f não é injetiva.

Passo 4

O mesmo exemplo vale para função crescente (não–decrescente). A função constante
g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g(x)=c
satisfaz g(x_1)\le g(x_2) sempre que x_1<x_2, mas de novo g(x_1)=g(x_2) para x_1\neq x_2, então não é injetiva.

Resposta

Existe sim uma função decrescente não injetiva (por exemplo f(x)=c) porque a monotonicidade não exige que valores sejam estritamente distintos. E existe também uma função crescente não injetiva (por exemplo g(x)=c) pelo mesmo motivo.

Exercícios relacionados