Existe uma função decrescente que não é injetiva? Por quê? E uma função crescente que não é injetiva?
Passo 1
O enunciado pergunta se existem funções monotônicas (decrescente ou crescente) que não sejam injetivas. Para responder, precisamos lembrar duas definições:
– Uma função é decrescente (ou não–crescente) se, sempre que
em
, vale
– Uma função
– Uma função
é injetiva se
implica
.
Passo 2
Para que uma função monotônica deixe de ser injetiva, basta que ela assume o mesmo valor em dois pontos distintos. O caso mais simples é uma função constante, pois ela “plateau” em toda parte.
Passo 3
Considere a função constante
onde
é um número fixo.
- Se
, então
logo
. Isso mostra que
é decrescente.
2. Mas para quaisquer
e
, mesmo quando
. Logo,
não é injetiva.
2. Mas
Passo 4
O mesmo exemplo vale para função crescente (não–decrescente). A função constante
satisfaz
sempre que
, mas de novo
para
, então não é injetiva.
Resposta
Existe sim uma função decrescente não injetiva (por exemplo
) porque a monotonicidade não exige que valores sejam estritamente distintos. E existe também uma função crescente não injetiva (por exemplo
) pelo mesmo motivo.