Construa o gráfico da função
f(x)=\left|x^{2}-1\right|-2
(a) Determine os intervalos de sinal da expressão interna.
(b) Escreva a função por partes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x)=\left|x^{2}-1\right|-2.
As perguntas são:
  • (a) Determinar os intervalos de sinal da expressão interna \,x^{2}-1. Ou seja, onde ela é positiva, onde é zero e onde é negativa.
  • (b) Escrever a função por partes, isto é, eliminar o valor absoluto e dar uma expressão de f(x) válida em cada intervalo onde a expressão interna tem sinal constante.
Informações dadas (diretamente da função):
  • A expressão interna do valor absoluto é \,x^{2}-1.
  • O valor absoluto transforma \,x^{2}-1 em número não negativo antes de subtrair 2.

Passo 2

Lembrete (regra do valor absoluto) — pequena aula rápida e prática:
  • Por definição, para qualquer expressão A\), \[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aplicando isso a A=x^{2}-1\], precisamos saber onde \(x^{2}-1 é não negativo e onde é negativo. Para decidir isso, primeiro encontramos as raízes de \,x^{2}-1 (pontos onde muda de sinal). Isso é o suficiente para montar a função por partes.]

Passo 3

Encontrar as raízes de \,x^{2}-1 e fatorar:
x^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 1.
Fatorando:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Esses fatores mostram que os possíveis pontos de mudança de sinal são x=-1 e x=1. Agora vamos determinar o sinal de \,x^{2}-1 em cada intervalo determinado por essas raízes: (-\infty,-1),\;(-1,1),\;(1,\infty).

Passo 4

Teste de sinal (explicando o raciocínio de forma simples):
  • Para [x=0) (que pertence a (-1,1)): x^{2}-1=0^{2}-1=-1<0. Logo em (-1,1) a expressão é negativa.
  • Para x=2 (que pertence a (1,\infty)): x^{2}-1=4-1=3>0. Logo em (1,\infty) a expressão é positiva.
  • Para x=-2 (em (-\infty,-1)): x^{2}-1=4-1=3>0. Logo em (-\infty,-1) a expressão também é positiva.
Portanto, os sinais são:
x^{2}-1 \begin{cases} >0, & x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty),\\[3pt] =0, & x=\pm 1,\\[3pt] <0, & x\in(-1,1). \end{cases}
(Comentário intuitivo: como é uma parábola com coeficiente de x^{2}\] positivo, ela abre para cima; suas raízes \(\pm1 dividem o eixo em três intervalos, com sinal + fora e - no meio.)]

Passo 5

Aplicar a definição do valor absoluto e obter a expressão de f em cada região (aula prática sobre substituição):
  • Se x^{2}-1\ge 0 (isto é, se |x|\ge 1), então |x^{2}-1|=x^{2}-1. Substituindo em f,
f(x)=x^{2}-1-2=x^{2}-3\qquad\text{para }|x|\ge 1.
  • Se x^{2}-1<0 (isto é, se |x|<1), então |x^{2}-1|=-(x^{2}-1)=1-x^{2}. Substituindo,
f(x)=1-x^{2}-2=-x^{2}-1\qquad\text{para }|x|<1.
Verificação rápida nos pontos de fronteira x=\pm 1: ambas as fórmulas dão
x^{2}-3\big|_{x=\pm1}=1-3=-2,\qquad -x^{2}-1\big|_{x=\pm1}=-1-1=-2,
logo f(\pm1)=-2 e as duas expressões coincidem em x=\pm1 (a função é contínua nesses pontos).

Passo 6

Interpretação gráfica e pontos importantes (como desenhar na prova sem calculadora):
  • Para |x|<1: a parte é -x^{2}-1, uma parábola voltada para baixo (coeficiente -1), com vértice em x=0. Vértice: f(0)=-0-1=-1. Esse trecho vai de f(-1)=-2 subindo até f(0)=-1 e descendo até f(1)=-2.
  • Para |x|\ge 1: a parte é x^{2}-3, uma parábola voltada para cima (coeficiente +1), cujo vértice está em x=0 com valor f(0)=-3, mas esse vértice não pertence a essa parte (pois x=0 não satisfaz |x|\ge1). Em |x|=1 temos f(\pm1)=-2 (ponto de “junção”) e, para |x|>1, f(x) cresce para +\infty. Zeros reais de f vêm da equação x^{2}-3=0, ou seja x=\pm\sqrt{3} (esses pontos pertencem à região |x|\ge1, logo são válidos).
  • Assim, no papel: desenhe a parábola virada para baixo entre -1 e 1 (máximo em (0,-1) e valores -2 nas extremidades), e a partir de (-1,-2) e (1,-2) desenhe os ramos de uma parábola virada para cima que crescem para as laterais. A função é contínua e suave nos pontos de junção.

Passo 7

Resumo técnico para responder objetivamente:
  • Intervalos de sinal de \,x^{2}-1 (parte (a)): positivos em (-\infty,-1)\cup(1,\infty), zero em \{ -1,1\}, negativo em (-1,1).
  • Função por partes (parte (b)): juntar as expressões obtidas por análise do valor absoluto.

Resposta

(a) \;x^{2}-1>0 em (-\infty,-1)\cup(1,\infty); \;x^{2}-1=0 em \{ -1,1\}; \;x^{2}-1<0 em (-1,1).\n
(b) f(x)=\begin{cases} x^{2}-3, & \text{se }|x|\ge 1,\\[4pt] -x^{2}-1, & \text{se }|x|<1. \end{cases}]

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