Construa o gráfico da função
f(x)=\left|x^{2}+4 x+3\right|-1
(a) Fatore o polinômio e determine as raízes.
(b) Escreva a função por partes.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left|x^{2}+4x+3\right|-1
e pede duas coisas:
(a) fatorar o polinômio x^{2}+4x+3 e determinar suas raízes;
(b) escrever f(x) por partes (ou seja, retirar o valor absoluto e apresentar as expressões válidas em cada intervalo de x).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão dentro do valor absoluto é o polinômio x^{2}+4x+3.
  • A função final é o módulo desse polinômio menos 1.

Passo 2

Fatorar o polinômio x^{2}+4x+3.
Explicação curta do procedimento: para fatorar um quadrático x^{2}+bx+c procura-se dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Aqui b=4 e c=3. Dois números que satisfazem isso são 1 e 3, pois 1+3=4 e 1\cdot3=3.
Portanto
x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3).
As raízes são os zeros do polinômio, obtidos fazendo cada fator igual a zero:
x+1=0\implies x=-1, \qquad x+3=0\implies x=-3.

Passo 3

Entender como eliminar o valor absoluto.
Regra do valor absoluto: para qualquer expressão u\), \[|u|= \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
No nosso caso u(x)=x^{2}+4x+3\]. Então precisamos saber para quais \(x temos u(x)\ge0 e para quais u(x)<0. Essa informação vem das raízes e do formato da parábola.]

Passo 4

Analisar o sinal de u(x)=x^{2}+4x+3.
Já sabemos que u(x)=(x+1)(x+3). Como é um quadrático com coeficiente de x^{2} positivo (abre para cima), o sinal é:
  • u(x)>0 quando x<-3 ou quando x>-1;
  • u(x)=0 em x=-3 e x=-1;
  • u(x)<0 quando -3<x<-1 (entre as raízes).
Uma forma rápida de ver o mínimo da parábola é completar o quadrado:
x^{2}+4x+3=(x+2)^{2}-1,
logo o vértice está em x=-2 com valor mínimo -1, o que confirma que a parábola fica negativa entre -3 e -1.

Passo 5

Montar a função por partes usando a regra do valor absoluto e simplificar.
  • Para x\le -3\) ou \(x\ge -1\) temos \(u(x)\ge0\), então \(|u(x)|=u(x)\). Assim \[f(x)=u(x)-1=x^{2}+4x+3-1=x^{2}+4x+2.
  • Para -3\le x\le -1 (no intervalo entre as raízes) temos u(x)\le0, então |u(x)|=-u(x). Assim
f(x)=-u(x)-1=-(x^{2}+4x+3)-1=-x^{2}-4x-4.
Observe que nas fronteiras x=-3 e x=-1 ambas as expressões coincidem, garantindo continuidade:
para x=-3 e x=-1 cada expressão dá -1.
Portanto a função por partes fica
f(x)= \begin{cases} x^{2}+4x+2, & x\le -3,\\[4pt] -x^{2}-4x-4, & -3\le x\le -1,\\[4pt] x^{2}+4x+2, & x\ge -1. \end{cases}
Para desenho do gráfico (como orientação prática na prova): nos ramos exterior ( x\le-3\] e \(x\ge-1 ) tem-se uma parábola aberta para cima dada por x^{2}+4x+2; no intervalo central [-3,-1] tem-se uma parábola invertida dada por -x^{2}-4x-4. Pontos-chave: f(-3)=-1, f(-2)=0, f(-1)=-1. Para x\to\pm\infty tem-se f(x)\to+\infty.]

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (pegar a caneta e desenhar):
  • Marque as raízes -3 e -1 no eixo x.
  • Entre essas raízes desenhe a parábola invertida f(x)=-x^{2}-4x-4, que atinge f(-2)=0.
  • Fora dessas raízes desenhe a parábola f(x)=x^{2}+4x+2, que passa por (-3,-1) e (-1,-1) e sobe para +\infty nas extremidades.
  • O gráfico é contínuo e tem dois pontos mínimos locais iguais a -1 em x=-3 e x=-1, com um pico local (valor maior) em x=-2.

Resposta

(a) x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3). As raízes são x=-1 e x=-3.
(b)
f(x)= \begin{cases} x^{2}+4x+2, & x\le -3,\\[4pt] -x^{2}-4x-4, & -3\le x\le -1,\\[4pt] x^{2}+4x+2, & x\ge -1. \end{cases}]

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