Construa o gráfico da função
(a) Determine o vértice.
(b) Esboce o gráfico com pontos notáveis.
(b) Esboce o gráfico com pontos notáveis.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) determinar o vértice da função (o ponto onde o valor absoluto atinge o mínimo);
(b) esboçar o gráfico indicando pontos notáveis.
(a) determinar o vértice da função (o ponto onde o valor absoluto atinge o mínimo);
(b) esboçar o gráfico indicando pontos notáveis.
Informações relevantes dadas:
- A função é composta por um valor absoluto de uma expressão linear
mais uma constante . - Não há outras restrições no enunciado (domínio será todos os reais).
Passo 2
Primeiro um lembrete sobre valor absoluto, de forma bem direta e prática.
O gráfico de
Isso significa que para
. Nesse ponto o absoluto muda de ramo e dá o vértice da V (antes de somar o
). Somar
apenas desloca o gráfico verticalmente para cima em
unidade.]
Passo 3
Achar o lugar onde o interior do módulo é zero:
Nesse
a parte
vale zero, logo
Portanto o vértice é o ponto
. Isso faz sentido: o mínimo de
é
e a constante
eleva o mínimo para
.
Passo 4
Agora vamos escrever
como função por partes (isso ajuda a desenhar linhas retas do gráfico).
Para
(isto é,
) temos
, então
Para
(isto é,
) temos
, então
Portanto
é uma V formada por duas retas:
- ramo esquerdo:
(slope ), válido para ; - ramo direito:
(slope ), válido para .
Passo 5
Interpretação geométrica e propriedades úteis para o esboço:
- As inclinações (declives) das duas retas têm mesmo módulo e sinais opostos (
), o que cria a forma de V com vértice em . - Domínio: todos os reais, isto é
. - Imagem (range): como o mínimo é
, a imagem é . - Não existem interceptos com o eixo
porque para todo (logo não tem solução). - Intercepto com o eixo
(quando ):
logo ponto
.
Passo 6
Escolher e calcular pontos notáveis para desenhar com precisão (pontos simétricos no sentido do valor de
).
Calculemos alguns pontos fáceis:
- Vértice: já achado
. - Quando
: já vimos (está no ramo esquerdo). - Pontos com
: isto dá . Soluções: Assim temos e . Esses dois pontos ficam um de cada lado do vértice e têm a mesma ordenada — ajudam a ver a “simetria” do módulo. - Outro ponto à direita:
: ponto . - Confirmar que o ramo esquerdo passa por
: substituindo em com dá , ok.
Resumo dos pontos úteis para o desenho:
Passo 7
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático, tipo “faça na prova”):
- Marque o vértice em
no plano. Esse é o ponto mais baixo. - Marque o intercepto com
: . - Marque
e — são simétricos em relação ao vértice (ajudam a formar a V). - Marque
para fixar a inclinação do ramo direito. - Ligue
até o vértice com uma reta (usar a equação para extender à esquerda). Ligue o vértice com e usando a reta para extender à direita. - Não há interseção com o eixo
. Indique que o gráfico continua indefinidamente para ambos os lados seguindo as retas com inclinações (esquerda) e (direita). - Anote domínio
e imagem .
Pronto — com o vértice e os pontos acima o esboço fica preciso: uma V com vértice em
, ramo esquerdo linear decrescente de declive
e ramo direito linear crescente de declive
.
Resposta
(a) Vértice:
(b) Pontos notáveis para esboço: . Equações dos ramos:
para
e
para
. Domain:
. Imagem:
.
(b) Pontos notáveis para esboço: