Construa o gráfico da função
f(x)=|3 x-4|+1
(a) Determine o vértice.
(b) Esboce o gráfico com pontos notáveis.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=|3x-4|+1
e pede duas coisas:
(a) determinar o vértice da função (o ponto onde o valor absoluto atinge o mínimo);
(b) esboçar o gráfico indicando pontos notáveis.
Informações relevantes dadas:
  • A função é composta por um valor absoluto de uma expressão linear |3x-4| mais uma constante +1.
  • Não há outras restrições no enunciado (domínio será todos os reais).

Passo 2

Primeiro um lembrete sobre valor absoluto, de forma bem direta e prática.
O gráfico de |u|\) (onde \(u\) é uma expressão qualquer) é uma letra V com vértice em \(u=0\). Em termos algébricos: \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Isso significa que para |3x-4|\] vamos achar onde \(3x-4=0. Nesse ponto o absoluto muda de ramo e dá o vértice da V (antes de somar o +1). Somar +1 apenas desloca o gráfico verticalmente para cima em 1 unidade.]

Passo 3

Achar o lugar onde o interior do módulo é zero:
3x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}.
Nesse x a parte |3x-4| vale zero, logo
f\!\left(\frac{4}{3}\right)=0+1=1.
Portanto o vértice é o ponto \left(\dfrac{4}{3},1\right). Isso faz sentido: o mínimo de |3x-4| é 0 e a constante +1 eleva o mínimo para 1.

Passo 4

Agora vamos escrever f como função por partes (isso ajuda a desenhar linhas retas do gráfico).
Para 3x-4\ge 0 (isto é, x\ge \dfrac{4}{3}) temos |3x-4|=3x-4, então
f(x)=3x-4+1=3x-3,\qquad x\ge \frac{4}{3}.
Para 3x-4<0 (isto é, x<\dfrac{4}{3}) temos |3x-4|=-(3x-4)=-3x+4, então
f(x)=-3x+4+1=-3x+5,\qquad x<\frac{4}{3}.
Portanto f é uma V formada por duas retas:
  • ramo esquerdo: f(x)=-3x+5 (slope -3), válido para x<\dfrac{4}{3};
  • ramo direito: f(x)=3x-3 (slope +3), válido para x\ge\dfrac{4}{3}.

Passo 5

Interpretação geométrica e propriedades úteis para o esboço:
  • As inclinações (declives) das duas retas têm mesmo módulo e sinais opostos ( \pm 3), o que cria a forma de V com vértice em \left(\dfrac{4}{3},1\right).
  • Domínio: todos os reais, isto é (-\infty,\infty).
  • Imagem (range): como o mínimo é 1, a imagem é [1,\infty).
  • Não existem interceptos com o eixo x porque f(x)\ge 1>0 para todo x (logo f(x)=0 não tem solução).
  • Intercepto com o eixo y (quando x=0):
f(0)=|3\cdot0-4|+1=4+1=5,
logo ponto (0,5).

Passo 6

Escolher e calcular pontos notáveis para desenhar com precisão (pontos simétricos no sentido do valor de 3x-4).
Calculemos alguns pontos fáceis:
  • Vértice: já achado \left(\dfrac{4}{3},1\right).
  • Quando x=0: já vimos (0,5) (está no ramo esquerdo).
  • Pontos com |3x-4|=1: isto dá f=2. Soluções: 3x-4=1 \Rightarrow x=\frac{5}{3},\quad\text{e}\quad 3x-4=-1 \Rightarrow x=1.Assim temos (1,2) e \left(\dfrac{5}{3},2\right). Esses dois pontos ficam um de cada lado do vértice e têm a mesma ordenada — ajudam a ver a “simetria” do módulo.
  • Outro ponto à direita: x=2: f(2)=|6-4|+1=2+1=3,ponto (2,3).
  • Confirmar que o ramo esquerdo passa por (0,5): substituindo em f(x)=-3x+5 com x=0 5, ok.
Resumo dos pontos úteis para o desenho:
\left(\frac{4}{3},1\right),\\ (1,2),\\ \left(\frac{5}{3},2\right),\\ (0,5),\\ (2,3).

Passo 7

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático, tipo “faça na prova”):
  1. Marque o vértice em \left(\dfrac{4}{3},1\right) no plano. Esse é o ponto mais baixo.
  2. Marque o intercepto com y: (0,5).
  3. Marque (1,2) e \left(\dfrac{5}{3},2\right) — são simétricos em relação ao vértice (ajudam a formar a V).
  4. Marque (2,3) para fixar a inclinação do ramo direito.
  5. Ligue (0,5) até o vértice com uma reta (usar a equação f(x)=-3x+5 para extender à esquerda). Ligue o vértice com (2,3) e \left(\dfrac{5}{3},2\right) usando a reta f(x)=3x-3 para extender à direita.
  6. Não há interseção com o eixo x. Indique que o gráfico continua indefinidamente para ambos os lados seguindo as retas com inclinações -3 (esquerda) e +3 (direita).
  7. Anote domínio (-\infty,\infty) e imagem [1,\infty).
Pronto — com o vértice e os pontos acima o esboço fica preciso: uma V com vértice em \left(\dfrac{4}{3},1\right), ramo esquerdo linear decrescente de declive -3 e ramo direito linear crescente de declive +3.

Resposta

(a) Vértice: \left(\dfrac{4}{3},1\right)
(b) Pontos notáveis para esboço: \left(\dfrac{4}{3},1\right),\\ (1,2),\\ \left(\dfrac{5}{3},2\right),\\ (0,5),\\ (2,3). Equações dos ramos: f(x)=-3x+5 para x<\dfrac{4}{3} e f(x)=3x-3 para x\ge\dfrac{4}{3}. Domain: (-\infty,\infty). Imagem: [1,\infty).

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