Construa o gráfico da função
f(x)=\left|x^{2}-4\right|+3
(a) Determine os pontos de mudança de comportamento.
(b) Escreva a função por partes.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left|x^{2}-4\right|+3
e pede dois itens:
  • (a) determinar os pontos de mudança de comportamento (onde a expressão absoluta muda de sinal);
  • (b) escrever a função por partes (ou seja, substituir a valor absoluto por suas duas expressões dependendo do sinal do que está dentro).
Informações fornecidas que usarei:
  • a fórmula explícita de f(x) acima;
  • a definição padrão do valor absoluto: \left|u\right|=u se u\ge0 e \left|u\right|=-u se u<0.

Passo 2

Explicar o que significa tirar o valor absoluto aqui. Definindo a função interna
u(x)=x^{2}-4,
temos, por definição,
\left|x^{2}-4\right|=\begin{cases} x^{2}-4 & \text{se }x^{2}-4\ge0,\\[4pt] -(x^{2}-4)=4-x^{2} & \text{se }x^{2}-4<0. \end{cases}
Então para escrever f por partes precisamos saber onde x^{2}-4 é não negativo e onde é negativo.]

Passo 3

Achar os pontos onde a expressão interna é zero (esses pontos são candidatos naturais de mudança de comportamento). Resolver
x^{2}-4=0.
Isto é uma equação quadrática simples; fatorando,
x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0,
logo as soluções são
x=2\quad\text{e}\quad x=-2.
Esses são os pontos onde o interior do valor absoluto passa de negativo para positivo (ou vice-versa).

Passo 4

Determinar o sinal de x^{2}-4 em cada intervalo definido por esses pontos. Observação útil: x^{2}\ge4 exatamente quando |x|\ge2. Portanto:
  • Se |x|\ge2 (ou seja, x\le-2 ou x\ge2), então x^{2}-4\ge0.
  • Se |x|<2 (ou seja, -2<x<2), então x^{2}-4<0.
Podemos verificar com pontos de exemplo: para x=3 temos 3^{2}-4=5>0; para x=0 temos 0^{2}-4=-4<0. Está consistente.

Passo 5

Usar esses sinais para escrever a função por partes. Substituindo na definição do valor absoluto:
  • Para |x|\ge2 temos \left|x^{2}-4\right|=x^{2}-4, então
f(x)=x^{2}-4+3=x^{2}-1.
  • Para |x|<2 temos \left|x^{2}-4\right|=4-x^{2}, então
f(x)=4-x^{2}+3=7-x^{2}.
Nos pontos de fronteira x=\pm2 ambas as expressões coincidem (ver passo seguinte), então é seguro usar desigualdades com \le ou \ge ao montar o caso central.

Passo 6

Escrever explicitamente a forma por partes em três intervalos (forma canônica):
f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & x\le -2,\\[4pt] 7-x^{2}, & -2\le x\le 2,\\[4pt] x^{2}-1, & x\ge 2. \end{cases}
(Obs.: as duas fórmulas externas são iguais, por isso também se pode escrever a parte externa como x^{2}-1 para |x|\ge2.)]

Passo 7

Calcular alguns valores-chave para entender o gráfico:
f(0)=7-0^{2}=7,
f(2)=f(-2)=x^{2}-1\big|_{x=2}=4-1=3.
Logo o ramo central -2\le x\le2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em x=0, f(0)=7, que decresce até f(\pm2)=3. Para |x|\ge2 a função é a parábola x^{2}-1 voltada para cima, que cresce para +\infty quando |x|\to\infty.

Passo 8

Verificar continuidade e derivabilidade nos pontos de mudança:
  • Continuidade em x=\pm2: pela substituição direta ambas as peças dão f(\pm2)=3, então a função é contínua em \pm2.
  • Derivabilidade em x=2 (análogo para x=-2): derivada à esquerda é a derivada de 7-x^{2}, que é -2x; em x=2 -4. Derivada à direita é a derivada de x^{2}-1, que é 2x; em x=2 4. Como -4\neq4, a derivada não existe em x=2. Portanto há um “canto” (ponto não diferenciável) em x=\pm2.

Passo 9

Descrição final do gráfico (para desenhar na prova sem calculadora):
  • Traçar a parábola invertida y=7-x^{2} entre x=-2 e x=2; ponto mais alto em (0,7) e interceptos com x-linha onde 7-x^{2}=0 (opcional).
  • Em x=-2 e x=2 o gráfico atinge y=3; a partir desses pontos ligar com as parábolas externas y=x^{2}-1 para x\le-2 e x\ge2, que crescem para cima.
  • Anotar que a função é contínua em todo \mathbb{R} e tem cantos em x=\pm2.

Resposta

(a) x=-2 e x=2
(b)
f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & x\le -2,\\[4pt] 7-x^{2}, & -2\le x\le 2,\\[4pt] x^{2}-1, & x\ge 2. \end{cases}]

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