Então para escrever f por partes precisamos saber onde x^{2}-4 é não negativo e onde é negativo.]
Passo 3
Achar os pontos onde a expressão interna é zero (esses pontos são candidatos naturais de mudança de comportamento). Resolver
x^{2}-4=0.
Isto é uma equação quadrática simples; fatorando,
x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0,
logo as soluções são
x=2\quad\text{e}\quad x=-2.
Esses são os pontos onde o interior do valor absoluto passa de negativo para positivo (ou vice-versa).
Passo 4
Determinar o sinal de x^{2}-4 em cada intervalo definido por esses pontos. Observação útil: x^{2}\ge4 exatamente quando |x|\ge2. Portanto:
Se |x|\ge2 (ou seja, x\le-2 ou x\ge2), então x^{2}-4\ge0.
Se |x|<2 (ou seja, -2<x<2), então x^{2}-4<0.
Podemos verificar com pontos de exemplo: para x=3 temos 3^{2}-4=5>0; para x=0 temos 0^{2}-4=-4<0. Está consistente.
Passo 5
Usar esses sinais para escrever a função por partes. Substituindo na definição do valor absoluto:
Para |x|\ge2 temos \left|x^{2}-4\right|=x^{2}-4, então
f(x)=x^{2}-4+3=x^{2}-1.
Para |x|<2 temos \left|x^{2}-4\right|=4-x^{2}, então
f(x)=4-x^{2}+3=7-x^{2}.
Nos pontos de fronteira x=\pm2 ambas as expressões coincidem (ver passo seguinte), então é seguro usar desigualdades com \le ou \ge ao montar o caso central.
Passo 6
Escrever explicitamente a forma por partes em três intervalos (forma canônica):
(Obs.: as duas fórmulas externas são iguais, por isso também se pode escrever a parte externa como x^{2}-1 para |x|\ge2.)]
Passo 7
Calcular alguns valores-chave para entender o gráfico:
f(0)=7-0^{2}=7,
f(2)=f(-2)=x^{2}-1\big|_{x=2}=4-1=3.
Logo o ramo central -2\le x\le2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em x=0, f(0)=7, que decresce até f(\pm2)=3. Para |x|\ge2 a função é a parábola x^{2}-1 voltada para cima, que cresce para +\infty quando |x|\to\infty.
Passo 8
Verificar continuidade e derivabilidade nos pontos de mudança:
Continuidade em x=\pm2: pela substituição direta ambas as peças dão f(\pm2)=3, então a função é contínua em \pm2.
Derivabilidade em x=2 (análogo para x=-2): derivada à esquerda é a derivada de 7-x^{2}, que é -2x; em x=2 dá -4. Derivada à direita é a derivada de x^{2}-1, que é 2x; em x=2 dá 4. Como -4\neq4, a derivada não existe em x=2. Portanto há um “canto” (ponto não diferenciável) em x=\pm2.
Passo 9
Descrição final do gráfico (para desenhar na prova sem calculadora):
Traçar a parábola invertida y=7-x^{2} entre x=-2 e x=2; ponto mais alto em (0,7) e interceptos com x-linha onde 7-x^{2}=0 (opcional).
Em x=-2 e x=2 o gráfico atinge y=3; a partir desses pontos ligar com as parábolas externas y=x^{2}-1 para x\le-2 e x\ge2, que crescem para cima.
Anotar que a função é contínua em todo \mathbb{R} e tem cantos em x=\pm2.