Construa o gráfico das funções abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função cúbica y = x³, tema de estudo: curvas de polinômios de grau 3; vamos usar domínio, interceptos, derivadas para monotonicidade e concavidade, pontos de inflexão e alguns pontos notáveis.

Passo 2

Identificamos o domínio e a imagem: por ser um polinômio, o domínio é todos os reais (–∞, +∞) e a imagem também é (–∞, +∞); a função é contínua e suave em toda a reta.

Passo 3

Vamos achar os interceptos com os eixos: para x = 0 temos y = 0³ = 0, então o único ponto de interseção é a origem (0, 0). Não há outros interceptos.

Passo 4

Analisamos a monotonicidade via a primeira derivada. Calculamos y’ = 3x², que é sempre ≥ 0 e só zera em x = 0. Logo a função é estritamente crescente em todo o domínio, com platô horizontal apenas no ponto (0, 0).

Passo 5

Estudamos a concavidade via a segunda derivada. Calculamos y’’ = 6x, que é negativa para x < 0 e positiva para x > 0. Isso indica mudança de concavidade em x = 0, caracterizando um ponto de inflexão em (0, 0).

Passo 6

Observamos simetria: y = x³ é função ímpar, logo seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 7

Escolhemos alguns pontos para guiar o esboço: (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8). Ligando-os conforme monotonicidade e concavidade, obtemos a típica curva em “S” que cresce de –∞ para +∞ passando pelo ponto de inflexão na origem.

Resposta

O gráfico de y = x³ é uma curva suave em forma de “S”, crescente em todo o domínio, com ponto de inflexão e intercepto na origem, simétrica como função ímpar, passando pelos pontos (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1) e (2, 8).

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