Construa o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para montar o gráfico da função
. O conteúdo envolvido é estudo de domínio de função, manipulação algébrica para reconhecer forma canônica e interpretação geométrica (hipérbole). Vamos precisar encontrar o domínio, reescrever a expressão em forma centrada e identificar o ramo relevante da hipérbole.
Passo 2
Para a expressão dentro da raiz fazer sentido real, precisamos de
. Fatorando, temos
que dá como solução o domínio
Passo 3
Reescrevendo o polinômio em forma centrada, completamos o quadrado:
Logo
Passo 4
Elevando ao quadrado para ver a curva de nível, obtemos
ou seja
que é a equação de uma hipérbole centralizada em
, com semi-eixo real
e imaginário
, e assíntotas dadas por
.
Passo 5
Como a função original impõe
, tomamos apenas o ramo superior da hipérbole. Além disso, a solução só vale para
(ramo esquerdo) e
(ramo direito).
Passo 6
Podemos marcar pontos-chave para esboçar: em
e
,
. Em
ou
,
. As assíntotas para o esboço são
Resposta
O gráfico de
é formado pelos dois ramos superiores da hipérbole
, restritos a
(ramo esquerdo) e
(ramo direito). Os pontos de contato com o eixo
são
e
, há pontos como
e
, e as assíntotas são
e
, tomando-se apenas a parte com
.