Construa o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
A função dada é g(x)=
. Esse é um caso de função racional do tipo 1/u, com u=x-2. Para esboçar o gráfico, vamos usar conhecimentos de hipérbole e de translações no plano.
Passo 2
O domínio dessa função vem de não zerar o denominador, ou seja x≠2. Daí surgem as assíntotas:
(mesmo local em que o denominador se anula) e, como g(x)→0 quando x→±∞, também temos a assíntota horizontal
Passo 3
Para relacionar com a hipérbole básica y=1/x, fazemos a troca u=x-2. Assim g(x)=1/u e o gráfico de g é o gráfico de y=1/x transladado 2 unidades para a direita. Isso explica por que a assíntota vertical fica em x=2 em vez de x=0.
Passo 4
Escolhemos alguns pontos para orientar o esboço: x=3 ⇒ g(3)=1/(3−2)=1; x=4 ⇒ g(4)=1/2; x=1 ⇒ g(1)=1/(1−2)=−1; x=0 ⇒ g(0)=1/(0−2)=−1/2.
Passo 5
Com as assíntotas e os pontos traçados, desenhamos dois ramos de hipérbole: para x>2, o ramo está acima do eixo x, decrescendo de +∞ (quando x→2⁺) até 0 (quando x→+∞); para x<2, o ramo está abaixo do eixo x, subindo de −∞ (quando x→2⁻) até 0 (quando x→−∞).
Resposta
O gráfico é uma hipérbole equilátera com assíntotas x=2 e y=0, deslocada 2 unidades à direita em relação à função y=1/x, apresentando um ramo em (2,+∞)×(0,+∞) e outro em (−∞,2)×(−∞,0).