Construa o gráfico das funções abaixo:
h(x)=\frac{|x|}{x}

Passo 1

O enunciado pede para construir (desenhar) o gráfico da função
h(x)=\frac{|x|}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão da função é \dfrac{|x|}{x}.
    O que precisamos responder / representar no gráfico:
  • Identificar o domínio da função.
  • Determinar o valor de h(x) em diferentes regiões de x (por exemplo x>0, x<0 e x=0).
  • Mostrar no gráfico como a função se comporta (valores, descontinuidade em x=0, pontos abertos/fechados, etc.).

Passo 2

Determinar o domínio da função.
  • A função tem uma divisão por x. Divisão por zero não é permitida.
  • Logo, x não pode ser 0.
    Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\}.

Passo 3

Encontrar h(x) para x>0.
  • Para x>0 vale |x|=x (definição do valor absoluto: para números positivos, o módulo é o próprio número).
  • Substituindo na função:
h(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1,\qquad\text{para }x>0.
  • Conclusão: em todo o intervalo (0,\infty) a função é constante igual a 1.

Passo 4

Encontrar h(x) para x<0.
  • Para x<0 vale |x|=-x (pois o módulo de um número negativo é menos ele).
  • Substituindo:
h(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1,\qquad\text{para }x<0.
  • Conclusão: em todo o intervalo (-\infty,0) a função é constante igual a -1.

Passo 5

Comportamento em x=0 e continuidade.
  • A função não está definida em x=0 (domínio exclui 0).
  • Limites laterais em 0:
\lim_{x\to 0^+} h(x)=1,\qquad \lim_{x\to 0^-} h(x)=-1.
  • Como os limites laterais são diferentes e a função não está definida em 0, existe uma descontinuidade do tipo salto em x=0.

Passo 6

Como desenhar o gráfico (instruções passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora).
  1. Desenhe os eixos coordenados x e y.
  2. Trace uma linha horizontal em y=1 para todos os x>0. Essa é a reta y=1 restrita ao semieixo direito. Não coloque ponto preenchido em x=0 nessa reta.
  3. Trace uma linha horizontal em y=-1 para todos os x<0. Essa é a reta y=-1 restrita ao semieixo esquerdo. Não coloque ponto preenchido em x=0 nessa reta.
  4. Em x=0 marque duas bolinhas vazias (círculos abertos): uma em (0,1) e outra em (0,-1) para indicar que nesses pontos a função não está definida.
  5. Opcional: coloque setas nas extremidades das retas horizontais para indicar que continuam até infinito.

Passo 7

Interpretação final e propriedades úteis para a prova (resumindo o que decoramos):
  • A função assume apenas dois valores: 1 e -1.
  • É constante em cada lado de 0: h(x)=1 em x>0 e h(x)=-1 em x<0.
  • Não é definida em x=0 e tem salto (descontinuidade) ali.
  • Esta função é frequentemente chamada de função sinal (sign), exceto que a versão sign usual às vezes define \operatorname{sgn}(0)=0; aqui, pela expressão dada \dfrac{|x|}{x}, x=0 fica indefinido.

Resposta

h(x)=1 para x>0; h(x)=-1 para x<0; não definida em x=0.

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