Construa o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para construir (desenhar) o gráfico da função
Informações dadas:
- A expressão da função é
.
O que precisamos responder / representar no gráfico: - Identificar o domínio da função.
- Determinar o valor de
em diferentes regiões de (por exemplo , e ). - Mostrar no gráfico como a função se comporta (valores, descontinuidade em
, pontos abertos/fechados, etc.).
Passo 2
Determinar o domínio da função.
- A função tem uma divisão por
. Divisão por zero não é permitida. - Logo,
não pode ser .
Portanto o domínio é
Passo 3
Encontrar
para
.
- Para
vale (definição do valor absoluto: para números positivos, o módulo é o próprio número). - Substituindo na função:
- Conclusão: em todo o intervalo
a função é constante igual a .
Passo 4
Encontrar
para
.
- Para
vale (pois o módulo de um número negativo é menos ele). - Substituindo:
- Conclusão: em todo o intervalo
a função é constante igual a .
Passo 5
Comportamento em
e continuidade.
- A função não está definida em
(domínio exclui ). - Limites laterais em
:
- Como os limites laterais são diferentes e a função não está definida em
, existe uma descontinuidade do tipo salto em .
Passo 6
Como desenhar o gráfico (instruções passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora).
- Desenhe os eixos coordenados
e . - Trace uma linha horizontal em
para todos os . Essa é a reta restrita ao semieixo direito. Não coloque ponto preenchido em nessa reta. - Trace uma linha horizontal em
para todos os . Essa é a reta restrita ao semieixo esquerdo. Não coloque ponto preenchido em nessa reta. - Em
marque duas bolinhas vazias (círculos abertos): uma em e outra em para indicar que nesses pontos a função não está definida. - Opcional: coloque setas nas extremidades das retas horizontais para indicar que continuam até infinito.
Passo 7
Interpretação final e propriedades úteis para a prova (resumindo o que decoramos):
- A função assume apenas dois valores:
e . - É constante em cada lado de
: em e em . - Não é definida em
e tem salto (descontinuidade) ali. - Esta função é frequentemente chamada de função sinal (sign), exceto que a versão sign usual às vezes define
; aqui, pela expressão dada , fica indefinido.