Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as a. transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
L(x)=|\sqrt{|x-4|}-3|

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função
L(x)=\bigl|\sqrt{|x-4|}-3\bigr|.
As perguntas são:
  • Identificar a função “elementar” de partida e listar as transformações (translações, reflexões, modulações) que transformam essa função elementar em L(x).
  • Esboçar o gráfico (descrever a forma, pontos importantes e comportamento).
  • Determinar o domínio e a imagem (conjunto-valor) de L.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão contém uma raiz quadrada interna \sqrt{\cdot}, valor absoluto no argumento |x-4| e valor absoluto externo.
  • Não há restrição explícita adicional; a raiz está aplicada a |x-4|.

Passo 2

Escolha da função elementar e sequência de transformações (explicação didática).
  • Função elementar escolhida: a mais simples ligada ao problema é
f(x)=\sqrt{x},\quad\text{definida para }x\ge 0.
Explicação da escolha: \sqrt{x} é a parte essencial da expressão (há uma raiz). A partir dela construímos \sqrt{|x-4|} e depois aplicamos deslocamento vertical e valor absoluto externo.
  • Agora a sequência de transformações aplicada a f:
    1. Translação horizontal para a direita em 4 unidades: substituir x por x-4 \sqrt{x-4}. Isso desloca a curva de \sqrt{x} de modo que o vértice (antes em x=0) vá para x=4.
    2. Aplicar valor absoluto ao argumento: substituir x por |x-4| \sqrt{|x-4|}. Isso faz com que o ramo direito (da translação) seja refletido em torno da reta vertical x=4, gerando duas metades simétricas à volta de x=4.
    3. Translação vertical para baixo em 3 unidades: \sqrt{|x-4|}-3. Cada valor da raiz é reduzido em 3.
    4. Aplicar valor absoluto externo: tomar \bigl|\sqrt{|x-4|}-3\bigr|. Isso reflecte para cima (em relação ao eixo x) todas as partes negativas da curva obtida no passo anterior, garantindo que a saída seja não negativa.
Resumo compacto das transformações:
\sqrt{x}\xrightarrow{\text{shift right }4}\sqrt{x-4}\xrightarrow{\text{reflect about }x=4}\sqrt{|x-4|} \xrightarrow{\text{shift down }3}\sqrt{|x-4|}-3\xrightarrow{\text{reflect above }x}\bigl|\sqrt{|x-4|}-3\bigr|.

Passo 3

Domínio: analisar onde a expressão está bem definida.
  • Dentro da raiz aparece |x-4|. Como |x-4|\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, a raiz quadrada \sqrt{|x-4|} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O valor absoluto externo não impõe restrição.
    Portanto o domínio é
\text{Dom}(L)=(-\infty,\infty).

Passo 4

Determinação da imagem (conjunto dos valores possíveis) — método por substituição e análise passo a passo.
  • Defina
t=\sqrt{|x-4|}.
Então t\ge 0 para todo x. A função L pode ser escrita como
L(x)=|t-3|.
  • Agora analisa-se a função em t:
    • Se 0\le t\le 3, então |t-3|=3-t, que varia de 3 (quando t=0) até 0 (quando t=3).
    • Se t\ge 3, então |t-3|=t-3, que varia de 0 (quando t=3) até +\infty (quando t\to\infty).
  • Combinando os dois ramos, os valores possíveis de |t-3| para t\ge 0 formam o intervalo
[0,\infty).
  • Conclusão: a imagem (range) de L é
\text{Im}(L)=[0,\infty).

Passo 5

Pontos chave do gráfico e como obtê‑los (úteis para esboçar na prova).
  • Valor no centro x=4: L(4)=\bigl|\sqrt{|4-4|}-3\bigr|=\bigl|0-3\bigr|=3.Então o ponto (4,3) está no gráfico (pico central local).
  • Zeros (onde L(x)=0): L(x)=0 \Longleftrightarrow \sqrt{|x-4|}=3 \Longleftrightarrow |x-4|=9.Assim x-4=\pm 9, logo x=13 e x=-5. São pontos de valor mínimo 0: (-5,0) e (13,0).
  • Comportamento para x\to\pm\infty: |x-4|\to\infty \Rightarrow \sqrt{|x-4|}\to\infty \Rightarrow L(x)=\bigl|\sqrt{|x-4|}-3\bigr|\sim\sqrt{|x-4|}\to\infty.Logo as “pontas” à esquerda e à direita sobem indefinidamente.
  • Monotonia por intervalos (importante para desenhar a forma correta):
    • Para x\in(-\infty,-5]: |x-4| grande e \sqrt{|x-4|}\ge 3, tem-se L(x)=\sqrt{4-x}-3 (a função aumenta quando x vai para -\infty).
    • Para x\in[-5,4]: \sqrt{|x-4|}=\sqrt{4-x}\le 3, tem-se L(x)=3-\sqrt{4-x}, que cresce de 0 em x=-5 até 3 em x=4.
    • Para x\in[4,13]: \sqrt{|x-4|}=\sqrt{x-4}\le 3, tem-se L(x)=3-\sqrt{x-4}, que decresce de 3 em x=4 até 0 em x=13.
    • Para x\in[13,\infty): \sqrt{x-4}\ge 3, tem-se L(x)=\sqrt{x-4}-3, que cresce para +\infty.
  • Forma global do esboço (descrição verbal para desenhar): o gráfico é simétrico em relação à reta vertical x=4. Tem um máximo local em (4,3), atinge zeros em (-5,0) e (13,0) (mínimos locais e globais, já que o valor 0 é o menor possível), e para x → ±∞ as duas “pernas” sobem sem limite. Entre -5 e 13 há uma crista em x=4 de altura 3 e dois vales de altura 0 em -5 e 13. Fora desse intervalo, os ramos aumentam indefinidamente.

Passo 6

Pequena tabela de pontos úteis para o esboço (pode desenhar ligando com curvas suaves conforme monotonia acima):
\begin{array}{lcl} x=4 &\Rightarrow& L(4)=3,\\\ x=3 &\Rightarrow& L(3)=\bigl|\sqrt{|3-4|}-3\bigr|=\bigl|\sqrt{1}-3\bigr|=2,\\\ x=0 &\Rightarrow& L(0)=\bigl|\sqrt{|0-4|}-3\bigr|=\bigl|\sqrt{4}-3\bigr|=1,\\\ x=-5 &\Rightarrow& L(-5)=0,\\\ x=13 &\Rightarrow& L(13)=0,\\\ x=20 &\Rightarrow& L(20)=\sqrt{20-4}-3=\sqrt{16}-3=1. \end{array}
Com esses pontos e as monotonicidades descritas, consegue-se um esboço fiel: simétrico em x=4, pico em (4,3), vales nulos em (-5,0) e (13,0), ramos laterais crescendo para +\infty.

Resposta

Função elementar: f(x)=\sqrt{x}. Transformações (em ordem): translação horizontal direita 4 ( x\mapsto x-4), aplicação do valor absoluto no argumento ( x\mapsto|x-4|, refletindo o ramo), translação vertical para baixo 3, e por fim valor absoluto externo (reflexão das partes negativas para cima).
Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: [0,\infty)

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