Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as a. transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. L(x)=|\sqrt{|x-4|}-3|
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
L(x)=\bigl|\sqrt{|x-4|}-3\bigr|.
As perguntas são:
Identificar a função “elementar” de partida e listar as transformações (translações, reflexões, modulações) que transformam essa função elementar em L(x).
Esboçar o gráfico (descrever a forma, pontos importantes e comportamento).
Determinar o domínio e a imagem (conjunto-valor) de L.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A expressão contém uma raiz quadrada interna \sqrt{\cdot}, valor absoluto no argumento |x-4| e valor absoluto externo.
Não há restrição explícita adicional; a raiz está aplicada a |x-4|.
Passo 2
Escolha da função elementar e sequência de transformações (explicação didática).
Função elementar escolhida: a mais simples ligada ao problema é
f(x)=\sqrt{x},\quad\text{definida para }x\ge 0.
Explicação da escolha: \sqrt{x} é a parte essencial da expressão (há uma raiz). A partir dela construímos \sqrt{|x-4|} e depois aplicamos deslocamento vertical e valor absoluto externo.
Agora a sequência de transformações aplicada a f:
Translação horizontal para a direita em 4 unidades: substituir x por x-4 dá \sqrt{x-4}. Isso desloca a curva de \sqrt{x} de modo que o vértice (antes em x=0) vá para x=4.
Aplicar valor absoluto ao argumento: substituir x por |x-4| dá \sqrt{|x-4|}. Isso faz com que o ramo direito (da translação) seja refletido em torno da reta vertical x=4, gerando duas metades simétricas à volta de x=4.
Translação vertical para baixo em 3 unidades: \sqrt{|x-4|}-3. Cada valor da raiz é reduzido em 3.
Aplicar valor absoluto externo: tomar \bigl|\sqrt{|x-4|}-3\bigr|. Isso reflecte para cima (em relação ao eixo x) todas as partes negativas da curva obtida no passo anterior, garantindo que a saída seja não negativa.
Resumo compacto das transformações:
\sqrt{x}\xrightarrow{\text{shift right }4}\sqrt{x-4}\xrightarrow{\text{reflect about }x=4}\sqrt{|x-4|} \xrightarrow{\text{shift down }3}\sqrt{|x-4|}-3\xrightarrow{\text{reflect above }x}\bigl|\sqrt{|x-4|}-3\bigr|.
Passo 3
Domínio: analisar onde a expressão está bem definida.
Dentro da raiz aparece |x-4|. Como |x-4|\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, a raiz quadrada \sqrt{|x-4|} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
O valor absoluto externo não impõe restrição.
Portanto o domínio é
\text{Dom}(L)=(-\infty,\infty).
Passo 4
Determinação da imagem (conjunto dos valores possíveis) — método por substituição e análise passo a passo.
Defina
t=\sqrt{|x-4|}.
Então t\ge 0 para todo x. A função L pode ser escrita como
L(x)=|t-3|.
Agora analisa-se a função em t:
Se 0\le t\le 3, então |t-3|=3-t, que varia de 3 (quando t=0) até 0 (quando t=3).
Se t\ge 3, então |t-3|=t-3, que varia de 0 (quando t=3) até +\infty (quando t\to\infty).
Combinando os dois ramos, os valores possíveis de |t-3| para t\ge 0 formam o intervalo
[0,\infty).
Conclusão: a imagem (range) de L é
\text{Im}(L)=[0,\infty).
Passo 5
Pontos chave do gráfico e como obtê‑los (úteis para esboçar na prova).
Valor no centro x=4:L(4)=\bigl|\sqrt{|4-4|}-3\bigr|=\bigl|0-3\bigr|=3.Então o ponto (4,3) está no gráfico (pico central local).
Zeros (onde L(x)=0):L(x)=0 \Longleftrightarrow \sqrt{|x-4|}=3 \Longleftrightarrow |x-4|=9.Assim x-4=\pm 9, logo x=13 e x=-5. São pontos de valor mínimo 0: (-5,0) e (13,0).
Comportamento para x\to\pm\infty:|x-4|\to\infty \Rightarrow \sqrt{|x-4|}\to\infty \Rightarrow L(x)=\bigl|\sqrt{|x-4|}-3\bigr|\sim\sqrt{|x-4|}\to\infty.Logo as “pontas” à esquerda e à direita sobem indefinidamente.
Monotonia por intervalos (importante para desenhar a forma correta):
Para x\in(-\infty,-5]: |x-4| grande e \sqrt{|x-4|}\ge 3, tem-se L(x)=\sqrt{4-x}-3 (a função aumenta quando x vai para -\infty).
Para x\in[-5,4]: \sqrt{|x-4|}=\sqrt{4-x}\le 3, tem-se L(x)=3-\sqrt{4-x}, que cresce de 0 em x=-5 até 3 em x=4.
Para x\in[4,13]: \sqrt{|x-4|}=\sqrt{x-4}\le 3, tem-se L(x)=3-\sqrt{x-4}, que decresce de 3 em x=4 até 0 em x=13.
Para x\in[13,\infty): \sqrt{x-4}\ge 3, tem-se L(x)=\sqrt{x-4}-3, que cresce para +\infty.
Forma global do esboço (descrição verbal para desenhar): o gráfico é simétrico em relação à reta vertical x=4. Tem um máximo local em (4,3), atinge zeros em (-5,0) e (13,0) (mínimos locais e globais, já que o valor 0 é o menor possível), e para x → ±∞ as duas “pernas” sobem sem limite. Entre -5 e 13 há uma crista em x=4 de altura 3 e dois vales de altura 0 em -5 e 13. Fora desse intervalo, os ramos aumentam indefinidamente.
Passo 6
Pequena tabela de pontos úteis para o esboço (pode desenhar ligando com curvas suaves conforme monotonia acima):
Com esses pontos e as monotonicidades descritas, consegue-se um esboço fiel: simétrico em x=4, pico em (4,3), vales nulos em (-5,0) e (13,0), ramos laterais crescendo para +\infty.
Resposta
Função elementar: f(x)=\sqrt{x}. Transformações (em ordem): translação horizontal direita 4 (x\mapsto x-4), aplicação do valor absoluto no argumento (x\mapsto|x-4|, refletindo o ramo), translação vertical para baixo 3, e por fim valor absoluto externo (reflexão das partes negativas para cima).
Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: [0,\infty)