1. ( \mathbf{1 , 0} ponto) Um circuito L C originalmente oscila com uma frequência f e corrente máxima \ell_{\max }. Se a energia total presente no circuito é dobrada, então o periodo de oscilação crescerá de um fator de:
    a) 4
    b) \sqrt{8}
    c) 2
    d) \sqrt{2}
    e) 1 (permanece inalterado).

Passo 1

O enunciado diz o seguinte (resumo claro do que é pedido e dados fornecidos):
  • Um circuito LC oscila inicialmente com frequência f e corrente máxima \ell_{\max}.
  • A energia total presente no circuito é dobrada.
  • Pergunta: o período de oscilação crescerá de um fator igual a qual das alternativas:
    a) 4
    b) \sqrt{8}
    c) 2
    d) \sqrt{2}
    e) 1 (permanece inalterado)
Logo, precisamos descobrir como o período T do oscilador LC é afetado quando a energia total é duplicada.

Passo 2

Lembrando a relação básica entre período, indutância e capacitância: para um circuito ideal LC (sem resistência), a frequência angular da oscilação é
\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}},
onde L é a indutância e C é a capacitância. A frequência em hertz é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
O período T (tempo de uma oscilação) é o inverso da frequência:
T=\frac{1}{f}=2\pi\sqrt{LC}.
Explicando: \,L mede a “inerícia” magnética do circuito (resiste à variação de corrente) e C mede a “capacitância” elétrica (capacidade de armazenar carga). A fórmula mostra que T depende somente de L e C.

Passo 3

Observação crucial para o problema: o enunciado não diz que L ou C mudaram — apenas que a energia total no circuito foi duplicada. Portanto, se L e C permanecem os mesmos, a expressão
T=2\pi\sqrt{LC}
permanece inalterada. Assim, em princípio o período não muda.

Passo 4

Para ser didático e mostrar o que muda quando a energia muda: a energia total num circuito LC oscilante é continuamente trocada entre campo elétrico do capacitor e campo magnético da bobina. A energia máxima (quando toda está no indutor) é
U_{\max}=\frac{1}{2}L I_{\max}^2,
onde I_{\max} é a amplitude máxima da corrente. Se a energia total é duplicada, U_{\max}'=2U_{\max}. Substituindo:
\frac{1}{2}L (I_{\max}')^2 = 2\cdot\frac{1}{2}L I_{\max}^2 \quad\Rightarrow\quad (I_{\max}')^2 = 2 I_{\max}^2.
Logo
I_{\max}'=\sqrt{2}\,I_{\max}.
Ou seja, duplicar a energia aumenta a amplitude da corrente por um fator \sqrt{2}, mas isso não altera L nem C.

Passo 5

Conclusão lógica: como T depende somente de L e C, que não foram alterados, o período T permanece o mesmo. Portanto o fator de crescimento do período é 1.

Resposta

e) 1 (permanece inalterado)

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