Construa o gráfico das funções definidas em
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x, \quad \text { se } \quad x \geq 0 ; \\\\ 1-x, \quad \text { se } \quad x<0 .\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico da função definida por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-2x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] 1-x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Informações dadas:
  • Para x\ge 0 a função é dada pela expressão \,x^{2}-2x\,.
  • Para x<0 a função é dada pela expressão \,1-x\,.
    O que se pede: desenhar (esboçar) o gráfico, ou seja, representar no plano cartesiano as duas partes da função respeitando seus domínios.]

Passo 2

Plano de ação (o que vamos fazer, passo a passo):
  1. Estudar a parte da esquerda ( x<0): identificar tipo (reta), coeficiente angular, intercepto, pontos úteis e comportamento quando x\to-\infty e quando x\to0^-.
  2. Estudar a parte da direita ( x\ge0): identificar tipo (parábola), encontrar vértice usando completar o quadrado, calcular alguns pontos ( x=0,1,2,3) e comportamento quando x\to+\infty.
  3. Verificar continuidade em x=0 e marcar ponto aberto/fechado conforme for o caso.
  4. Juntar as duas peças no mesmo plano e indicar como traçar suavemente cada ramo.

Passo 3

Análise da parte esquerda: f(x)=1-x para x<0.
  • Tipo: é uma reta. Em forma f(x)=ax+b temos a=-1 e b=1.
  • Significado: o coeficiente angular a=-1 indica que ao aumentar x em 1 a função diminui em 1. O intercepto b=1 é o valor da reta em x=0.
  • Pontos fáceis de plotar (pegue-os e coloque no papel):
    • Para x=-3: f(-3)=1-(-3)=4. Ponto (-3,4).
    • Para x=-2: f(-2)=1-(-2)=3. Ponto (-2,3).
    • Para x=-1: f(-1)=1-(-1)=2. Ponto (-1,2).
    • Ao aproximar x de 0 pela esquerda: \lim_{x\to0^-}f(x)=1-0=1. Então a reta atinge y=1 em x=0, mas lembre: nesta fórmula essa igualdade só vale para x<0, então no gráfico haverá um ponto em (0,1) que deve ser representado como ponto aberto (circulo não preenchido).
  • Comportamento extremo: quando x\to-\infty temos f(x)=1-x\to+\infty (a reta sobe à esquerda).

Passo 4

Análise da parte direita: f(x)=x^{2}-2x para x\ge 0.
  • Tipo: é uma parábola (polinômio de grau 2) que abre para cima porque o coeficiente do x^{2} é positivo.
  • Para achar o vértice, usamos completar o quadrado. Desenvolvendo:
x^{2}-2x = (x^{2}-2x+1)-1 = (x-1)^{2}-1.
Isto mostra que a parábola tem vértice em x=1 e valor mínimo f(1)=-1. Assim o vértice é o ponto (1,-1).
  • Pontos úteis para desenhar:
    • Em x=0: f(0)=0^{2}-2\cdot0=0. Ponto (0,0).
    • Em x=1: f(1)= -1. Ponto (1,-1) (vértice).
    • Em x=2: f(2)=4-4=0. Ponto (2,0).
    • Em x=3: f(3)=9-6=3. Ponto (3,3).
  • Monotonicidade na região x\ge0: a parábola decresce quando 0\le x\le1 (vai de f(0)=0 até f(1)=-1) e cresce para x\ge1.
  • Comportamento extremo: quando x\to+\infty, f(x)\to+\infty (a parábola sobe à direita).

Passo 5

Continuidade em x=0 e marcação de pontos abertos/fechados:
  • Valor à direita em 0: f(0) definido pela parte x\ge0, logo f(0)=0. Então no gráfico há um ponto fechado (preenchido) em (0,0).
  • Limite pela esquerda em 0: \lim_{x\to0^-}f(x)=1. A expressão para x<0 1 em x\to0, mas como x=0 não pertence a essa parte, o ponto em (0,1) deve ser desenhado aberto.
  • Conclusão: há uma descontinuidade do tipo salto em x=0: ponto fechado (0,0) e ponto aberto (0,1).

Passo 6

Como montar o esboço no papel (instrução prática, passo a passo):
  1. Desenhe e marque os eixos x e y, e trace uma grade leve.
  2. Marque eixos com valores que contemplem pelo menos x\in[-4,4] e y\in[-2,5].
  3. Trace a reta y=1-x apenas para x<0:
    • Plote os pontos (-3,4),(-2,3),(-1,2).
    • Una-os com uma linha reta que continua à esquerda em direção a +\infty (a reta sobe para a esquerda).
    • Em x=0 desenhe um círculo aberto em (0,1).
  4. Trace a parábola y=x^{2}-2x apenas para x\ge0:
    • Plote os pontos (0,0),(1,-1),(2,0),(3,3).
    • Desenhe a curva suave da parábola passando por esses pontos: desce de (0,0) até (1,-1) e sobe depois.
    • Em x=0 coloque um ponto fechado em (0,0).
  5. Verifique visualmente que não há ligação entre os dois ramos em x=0 (há o salto).
  6. Se quiser, marque setas indicando que cada ramo segue indefinidamente: a reta para a esquerda sobe, a parábola para a direita sobe.

Passo 7

Resumo das características importantes para lembrar na prova (dicas rápidas):
  • A função é definida para todo \mathbb{R} (peças cobrem todos os reais).
  • Para x<0: reta y=1-x, ponto aberto em (0,1).
  • Para x\ge0: parábola y=(x-1)^{2}-1, vértice em (1,-1), ponto fechado em (0,0).
  • Há descontinuidade em x=0 (salto): \lim_{x\to0^-}f(x)=1, f(0)=0.

Resposta

Gráfico composto por duas peças:
  • Reta y=1-x para x<0 (traçar passando por (-3,4),(-2,3),(-1,2)), com ponto aberto em (0,1).
  • Parábola y=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1 para x\ge0 (traçar passando por (0,0),(1,-1),(2,0),(3,3)), com ponto fechado em (0,0) e vértice em (1,-1).

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