Qual o teste para simetria em relação ao Eixo \theta=\pi / 2 (Eixo Y)?

Passo 1

O que o enunciado pede: dizer qual é o teste (procedimento) para verificar se uma curva dada em coordenadas polares é simétrica em relação ao eixo \theta=\pi/2 (o eixo y).
Informações fornecidas implicitamente: a curva está expressa em coordenadas polares, seja na forma explícita r=f(\theta) ou numa forma implícita F(r,\theta)=0. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Entendendo as coordenadas polares e a reflexão em \theta=\pi/2 (uma mini-aula):
  • Um ponto em coordenadas polares (r,\theta) tem coordenadas cartesianas
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • A reflexão de um ponto (x,y) em relação ao eixo y (eixo vertical) transforma (x,y) em (-x,y). Vamos ver como isso age em polares: se (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), então
(-x,y)=(-r\cos\theta,r\sin\theta).
Usando identidades trigonométricas
\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta,\qquad \sin(\pi-\theta)=\sin\theta,
vemos que
(-r\cos\theta,r\sin\theta) = (r\cos(\pi-\theta),\,r\sin(\pi-\theta)).
Portanto, a reflexão em relação ao eixo \theta=\pi/2 corresponde, em coordenadas polares, à troca
(r,\theta)\longmapsto (r,\pi-\theta).
Ou seja: para refletir um ponto em relação ao eixo \theta=\pi/2 basta substituir \theta por \pi-\theta, mantendo r.

Passo 3

Teste prático para curvas na forma r=f(\theta) (regra principal):
Substitua \theta por \pi-\theta na equação. Se o valor de r resultante for igual ao valor original para todos os \theta do domínio, a curva é simétrica em relação a \theta=\pi/2. Em notação:
\text{Se }\; f(\pi-\theta)=f(\theta)\;\text{ para todo }\theta\text{ do domínio, então há simetria em relação a }\theta=\tfrac{\pi}{2}.íãáçã
Explicação curta: isto garante que o ponto (r,\theta) da curva tem o ponto refletido (r,\pi-\theta) também na curva.

Passo 4

Observação sobre sinais de r (armadilha comum):
  • Em coordenadas polares existe a equivalência (r,\theta)\equiv(-r,\theta+\pi). Portanto, cuidado ao ver igualdades com sinal trocado.
  • O teste correto para simetria em \theta=\pi/2 é a igualdade direta f(\pi-\theta)=f(\theta). A igualdade f(\pi-\theta)=-f(\theta) normalmente não indica simetria em \theta=\pi/2; ela relaciona valores que representam pontos equivalentes por mudança de sinal de r e rotação de \pi, e não a reflexão simples. Logo, não aceite imediatamente o caso com sinal trocado como prova de simetria em relação ao eixo y.

Passo 5

Teste para equações polares implícitas F(r,\theta)=0:
Substitua \theta por \pi-\theta. Se a equação permanecer verdadeira (isto é, F(r,\pi-\theta)=0 é equivalente a F(r,\theta)=0 para os pontos da curva), então a curva é simétrica em relação a \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Exemplos concretos rápidos (para fixar):
  • r=\sin\theta. Calcule r(\pi-\theta)=\sin(\pi-\theta)=\sin\theta=r(\theta). Conclusão: simétrica em relação a \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y).
  • r=\cos\theta. Calcule r(\pi-\theta)=\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\neq\cos\theta. Portanto não satisfaz f(\pi-\theta)=f(\theta) e, portanto, não é simétrica em relação ao eixo y (esse caso tem outros tipos de comportamentos devido a valores negativos de r, mas não é a reflexão simples).

Passo 7

Resumo prático (o que fazer na prova, passo a passo):
  1. Pegue a equação polar r=f(\theta) ou F(r,\theta)=0.
  2. Substitua \theta por \pi-\theta.
  3. Simplifique.
  4. Se obtiver exatamente a mesma equação (ou f(\pi-\theta)=f(\theta) ponto a ponto), declare que há simetria em relação a \theta=\tfrac{\pi}{2}. Caso contrário, não há essa simetria simples.

Resposta

Substituir \theta por \pi-\theta; se para todos os \theta do domínio vale \,f(\pi-\theta)=f(\theta)\, (ou, no caso implícito, F(r,\pi-\theta)=0 é equivalente a F(r,\theta)=0), então a curva é simétrica em relação a \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y).

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