Qual o teste para simetria em relação ao Eixo
(Eixo Y)?
Passo 1
O que o enunciado pede: dizer qual é o teste (procedimento) para verificar se uma curva dada em coordenadas polares é simétrica em relação ao eixo
(o eixo
).
Informações fornecidas implicitamente: a curva está expressa em coordenadas polares, seja na forma explícita ou numa forma implícita
. Não há outras informações no enunciado.
Informações fornecidas implicitamente: a curva está expressa em coordenadas polares, seja na forma explícita
Passo 2
Entendendo as coordenadas polares e a reflexão em
(uma mini-aula):
- Um ponto em coordenadas polares
tem coordenadas cartesianas
- A reflexão de um ponto
em relação ao eixo (eixo vertical) transforma em . Vamos ver como isso age em polares: se , então
Usando identidades trigonométricas
vemos que
Portanto, a reflexão em relação ao eixo
corresponde, em coordenadas polares, à troca
Ou seja: para refletir um ponto em relação ao eixo
basta substituir
por
, mantendo
.
Passo 3
Teste prático para curvas na forma
(regra principal):
Substitua por
na equação. Se o valor de
resultante for igual ao valor original para todos os
do domínio, a curva é simétrica em relação a
. Em notação:
Substitua
Explicação curta: isto garante que o ponto
da curva tem o ponto refletido
também na curva.
Passo 4
Observação sobre sinais de
(armadilha comum):
- Em coordenadas polares existe a equivalência
. Portanto, cuidado ao ver igualdades com sinal trocado. - O teste correto para simetria em
é a igualdade direta . A igualdade normalmente não indica simetria em ; ela relaciona valores que representam pontos equivalentes por mudança de sinal de e rotação de , e não a reflexão simples. Logo, não aceite imediatamente o caso com sinal trocado como prova de simetria em relação ao eixo .
Passo 5
Teste para equações polares implícitas
:
Substitua por
. Se a equação permanecer verdadeira (isto é,
é equivalente a
para os pontos da curva), então a curva é simétrica em relação a
.
Substitua
Passo 6
Exemplos concretos rápidos (para fixar):
-
. Calcule . Conclusão: simétrica em relação a (eixo ). -
. Calcule . Portanto não satisfaz e, portanto, não é simétrica em relação ao eixo (esse caso tem outros tipos de comportamentos devido a valores negativos de , mas não é a reflexão simples).
Passo 7
Resumo prático (o que fazer na prova, passo a passo):
- Pegue a equação polar
ou . - Substitua
por . - Simplifique.
- Se obtiver exatamente a mesma equação (ou
ponto a ponto), declare que há simetria em relação a . Caso contrário, não há essa simetria simples.
Resposta
Substituir
por
; se para todos os
do domínio vale
(ou, no caso implícito,
é equivalente a
), então a curva é simétrica em relação a
(eixo
).