Suponha que um agricultor precisa construir um cercado em formato de um retângulo de perímetro igual a
. Qual é o valor que o lado maior precisa ter para que a área do cercado seja a maior possível?
Passo 1
O enunciado dá um retângulo cujo perímetro é
e pede: qual deve ser o valor do lado maior para que a área do retângulo seja a máxima possível?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Perímetro:
. - O cercado tem formato de retângulo com dois lados iguais de comprimento menor e dois lados iguais de comprimento maior.
- Objetivo: encontrar o comprimento do lado maior que maximiza a área.
Passo 2
Vamos definir variáveis claras (isso ajuda muito na prova):
- Seja
o comprimento do lado menor (em metros). - Seja
o comprimento do lado maior (em metros).
A relação entre
e
dada pelo perímetro é
Dividindo ambos os lados por
obtemos a equação mais simples que relaciona
e
:
Isolando
em função de
temos
Aqui cada símbolo significa:
e
são comprimentos em metros; o número
vem de
.
Passo 3
A área
do retângulo (em metros quadrados) é o produto dos lados:
Substituindo
pela expressão em função de
obtemos uma função de uma variável:
Explicação didática:
é um polinômio quadrático (uma parábola). O coeficiente de
é
, negativo, então a parábola abre para baixo — isso significa que existe um valor de
que dá área máxima (o vértice da parábola).
Para achar o
que maximiza
podemos usar a fórmula do vértice de uma parábola
, cujo vértice em
é
No nosso caso
e
. Então
Portanto, a área é máxima quando
.
Como verificação alternativa (útil para prova): completar o quadrado.
Da última expressão fica claro que a maior área é
e ocorre quando
, ou seja
.
Passo 4
Agora calcule
quando
, usando
:
Portanto
. Isso mostra que, para perímetro fixo, a área máxima ocorre quando os dois lados são iguais — o retângulo ótimo é um quadrado. Intuição rápida: distribuir o perímetro igualmente entre os lados “espalha” mais a área.
Passo 5
Breve alternativa via cálculo (se preferir usar derivada na prova): derivando
obtemos
Igualando a zero para encontrar extremos:
A segunda derivada é
, confirmação de máximo. Resultado coerente com o método anterior.