Suponha que um agricultor precisa construir um cercado em formato de um retângulo de perímetro igual a 120 m. Qual é o valor que o lado maior precisa ter para que a área do cercado seja a maior possível?

Passo 1

O enunciado dá um retângulo cujo perímetro é 120\\ \mathrm{m} e pede: qual deve ser o valor do lado maior para que a área do retângulo seja a máxima possível?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Perímetro: 120\\ \mathrm{m}.
  • O cercado tem formato de retângulo com dois lados iguais de comprimento menor e dois lados iguais de comprimento maior.
  • Objetivo: encontrar o comprimento do lado maior que maximiza a área.

Passo 2

Vamos definir variáveis claras (isso ajuda muito na prova):
  • Seja x o comprimento do lado menor (em metros).
  • Seja y o comprimento do lado maior (em metros).
A relação entre x e y dada pelo perímetro é
2(x+y)=120.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos a equação mais simples que relaciona x e y:
x+y=60.
Isolando y em função de x temos
y=60-x.
Aqui cada símbolo significa: x e y são comprimentos em metros; o número 60 vem de 120/2.

Passo 3

A área A do retângulo (em metros quadrados) é o produto dos lados:
A=x\cdot y.
Substituindo y pela expressão em função de x obtemos uma função de uma variável:
A(x)=x(60-x) = -x^{2}+60x.
Explicação didática: A(x) é um polinômio quadrático (uma parábola). O coeficiente de x^{2} é -1, negativo, então a parábola abre para baixo — isso significa que existe um valor de x que dá área máxima (o vértice da parábola).
Para achar o x que maximiza A(x) podemos usar a fórmula do vértice de uma parábola ax^{2}+bx+c, cujo vértice em x é
x_{v}=-\dfrac{b}{2a}.
No nosso caso a=-1 e b=60. Então
x_{v}=-\dfrac{60}{2(-1)}=-\dfrac{60}{-2}=30.
Portanto, a área é máxima quando x=30\\ \mathrm{m}.
Como verificação alternativa (útil para prova): completar o quadrado.
A(x) = -x^{2}+60x = -\bigl(x^{2}-60x\bigr) = -\bigl((x-30)^{2}-900\bigr) = - (x-30)^{2}+900.
Da última expressão fica claro que a maior área é 900\\ \mathrm{m}^{2} e ocorre quando (x-30)^{2}=0, ou seja x=30\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora calcule y quando x=30\\ \mathrm{m}, usando y=60-x:
y=60-30=30.
Portanto y=30\\ \mathrm{m}. Isso mostra que, para perímetro fixo, a área máxima ocorre quando os dois lados são iguais — o retângulo ótimo é um quadrado. Intuição rápida: distribuir o perímetro igualmente entre os lados “espalha” mais a área.

Passo 5

Breve alternativa via cálculo (se preferir usar derivada na prova): derivando A(x)=-x^{2}+60x obtemos
A'(x)=-2x+60.
Igualando a zero para encontrar extremos:
-2x+60=0 \quad\Rightarrow\quad x=30.
A segunda derivada é A''(x)=-2<0, confirmação de máximo. Resultado coerente com o método anterior.

Resposta

30\\ \mathrm{m}

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