Duas pedras são lançadas de um mesmo ponto em trajetória oblíqua. As trajetórias das pedras são descritas pelas seguintes funções:
a) Qual das pedras atingiu a maior altura?
b) Qual delas tem a maior distância horizontal?
c) Esboce as trajetórias.
b) Qual delas tem a maior distância horizontal?
c) Esboce as trajetórias.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados (funções que descrevem as trajetórias, pegados do enunciado):
-
. -
.
-
- Perguntas:
- (a) Qual das pedras atingiu a maior altura?
- (b) Qual delas tem a maior distância horizontal (alcance)?
- (c) Esboce as trajetórias.
Passo 2
Entender como extrair a altura máxima e o alcance de uma parábola: uma pequena aula prática.
Uma função quadrática genérica tem a forma
onde
são constantes. Se
a parábola abre para baixo e tem um único ponto de máximo (vértice). Duas coisas úteis para a prova:
- Abscissa do vértice (o
onde a altura é máxima):
Explicação curta de onde vem: completando o quadrado em
obtém-se uma forma
; o quadrado é mínimo em
, logo se
é o máximo da parábola.
-
Altura máxima (valor de
no vértice): calcula-se , ou substitui-se na fórmula. -
Alcance horizontal (distância que a pedra percorre no eixo
) é a diferença entre as raízes reais da parábola (valores de onde ). Para funções com (como aqui), uma raiz é e a outra obtém-se fatorando a expressão.
Passo 3
Aplicando a ideia do vértice em
.
Escrevemos na forma
: aqui
,
,
.
- Abscissa do vértice:
- Altura máxima (valor de
em ):
Portanto a altura máxima da pedra descrita por
é
.
Passo 4
Aplicando o mesmo para
.
Aqui
,
,
.
- Abscissa do vértice:
- Altura máxima:
Portanto a altura máxima da pedra descrita por
é
.
Passo 5
Conclusão parcial sobre a pergunta (a) com base nos resultados calculados:
-
tem altura máxima . -
tem altura máxima .
Logo a pedra descrita poratingiu a maior altura.
Passo 6
Agora calcular o alcance horizontal (pergunta b): achar as raízes de cada parábola (valores de
com
).
Para
:
O alcance (distância horizontal desde
até o pouso) é
.
Para
:
O alcance é
.
Comparando:
, portanto a pedra descrita por
tem maior distância horizontal.
Passo 7
Informações úteis para o esboço (pergunta c) e como usar essas informações para desenhar as curvas manualmente:
Pontos-chave já encontrados:
- Para
: - raízes:
e . - vértice:
. - eixo de simetria:
.
- raízes:
- Para
: - raízes:
e . - vértice:
. - eixo de simetria:
.
- raízes:
Além disso é útil achar onde as duas trajetórias se cruzam (para posicionar corretamente no esboço). Igualando
:
Em
:
logo elas se cruzam também em
além da origem
.
Observações adicionais que ajudam no desenho:
- Ambas as parábolas abrem para baixo (porque
nos dois casos). - A parábola
começa mais inclinada em (derivadas iniciais): então ; então . Isso explica por que sobe mais íngreme inicialmente e alcança altura maior em . - Entre
e , . Para até 10, fica acima de (até o pouso de em ).
Passo 8
Instruções passo a passo para esboçar as trajetórias à mão (faça isso na sua folha de prova):
- Trace e marque os eixos
(horizontal) e (vertical). Escolha uma escala onde vá pelo menos até e até pelo menos . - Marque os pontos para
: , , . Desenhe uma parábola suave que passe por esses pontos e seja simétrica em , abrindo para baixo. - Marque os pontos para
: , , . Desenhe outra parábola suave que passe por esses pontos e seja simétrica em , abrindo para baixo. - Marque também o ponto de interseção
— ambas as curvas passam por ele. - Verifique visualmente: entre
e a curva de está acima da curva de ; depois de , fica acima até seu pouso em . - Se quiser pontos extras para refinar o desenho, calcule
, , , etc., e coloque no esboço.
Resposta
(a) A pedra dada por
atingiu a maior altura: altura máxima
em
.
(b) A pedra dada por tem a maior distância horizontal (alcance): alcance
(contra
de
).
(c) Esboço — pontos essenciais para desenhar:
(eixo de simetria
);
(eixo de simetria
);
interseção adicional em .
(b) A pedra dada por
(c) Esboço — pontos essenciais para desenhar:
interseção adicional em