Duas pedras são lançadas de um mesmo ponto em trajetória oblíqua. As trajetórias das pedras são descritas pelas seguintes funções:
f(x)=10 x-x^{2} \quad e \quad g(x)=16 x-2 x^{2} .
a) Qual das pedras atingiu a maior altura?
b) Qual delas tem a maior distância horizontal?
c) Esboce as trajetórias.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados (funções que descrevem as trajetórias, pegados do enunciado):
    • f(x)=10x-x^{2}.
    • g(x)=16x-2x^{2}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual das pedras atingiu a maior altura?
    • (b) Qual delas tem a maior distância horizontal (alcance)?
    • (c) Esboce as trajetórias.

Passo 2

Entender como extrair a altura máxima e o alcance de uma parábola: uma pequena aula prática.
Uma função quadrática genérica tem a forma
y=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são constantes. Se a<0 a parábola abre para baixo e tem um único ponto de máximo (vértice). Duas coisas úteis para a prova:
  • Abscissa do vértice (o x onde a altura é máxima):
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}.
Explicação curta de onde vem: completando o quadrado em ax^{2}+bx+c obtém-se uma forma a\bigl(x+\tfrac{b}{2a}\bigr)^{2}+\text{constante}; o quadrado é mínimo em x=-\tfrac{b}{2a}, logo se a<0 é o máximo da parábola.
  • Altura máxima (valor de y no vértice): calcula-se y_{\text{v}}=f(x_{\text{v}}), ou substitui-se x_{\text{v}} na fórmula.
  • Alcance horizontal (distância que a pedra percorre no eixo x) é a diferença entre as raízes reais da parábola (valores de x onde y=0). Para funções com c=0 (como aqui), uma raiz é x=0 e a outra obtém-se fatorando a expressão.

Passo 3

Aplicando a ideia do vértice em f(x)=10x-x^{2}.
Escrevemos na forma ax^{2}+bx+c: aqui a=-1, b=10, c=0.
  • Abscissa do vértice:
x_{\text{v},f}=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2(-1)}=-\frac{10}{-2}=5.
  • Altura máxima (valor de f em x=5):
f(5)=10\cdot 5 - 5^{2}=50-25=25.
Portanto a altura máxima da pedra descrita por f é \,25.

Passo 4

Aplicando o mesmo para g(x)=16x-2x^{2}.
Aqui a=-2, b=16, c=0.
  • Abscissa do vértice:
x_{\text{v},g}=-\frac{b}{2a}=-\frac{16}{2(-2)}=-\frac{16}{-4}=4.
  • Altura máxima:
g(4)=16\cdot 4 - 2\cdot 4^{2}=64-2\cdot 16=64-32=32.
Portanto a altura máxima da pedra descrita por g é \,32.

Passo 5

Conclusão parcial sobre a pergunta (a) com base nos resultados calculados:
  • f tem altura máxima 25.
  • g tem altura máxima 32.
    Logo a pedra descrita por g atingiu a maior altura.

Passo 6

Agora calcular o alcance horizontal (pergunta b): achar as raízes de cada parábola (valores de x com y=0).
Para f(x)=10x-x^{2}:
f(x)=x(10-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \\ \text{ou}\\ x=10.
O alcance (distância horizontal desde x=0 até o pouso) é 10.
Para g(x)=16x-2x^{2}:
g(x)=2x(8-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \\ \text{ou}\\ x=8.
O alcance é 8.
Comparando: 10>8, portanto a pedra descrita por f tem maior distância horizontal.

Passo 7

Informações úteis para o esboço (pergunta c) e como usar essas informações para desenhar as curvas manualmente:
Pontos-chave já encontrados:
  • Para f:
    • raízes: (0,0) e (10,0).
    • vértice: (5,25).
    • eixo de simetria: x=5.
  • Para g:
    • raízes: (0,0) e (8,0).
    • vértice: (4,32).
    • eixo de simetria: x=4.
Além disso é útil achar onde as duas trajetórias se cruzam (para posicionar corretamente no esboço). Igualando f(x)=g(x):
10x-x^{2}=16x-2x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}-6x=0\quad\Rightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=6.
Em x=6:
f(6)=10\cdot6-6^{2}=60-36=24,
logo elas se cruzam também em (6,24) além da origem (0,0).
Observações adicionais que ajudam no desenho:
  • Ambas as parábolas abrem para baixo (porque a<0 nos dois casos).
  • A parábola g começa mais inclinada em x=0 (derivadas iniciais): f'(x)=10-2x então f'(0)=10; g'(x)=16-4x então g'(0)=16. Isso explica por que g sobe mais íngreme inicialmente e alcança altura maior em x=4.
  • Entre x=0 e x=6, g(x)>f(x). Para x>6 até 10, f(x) fica acima de g(x) (até o pouso de f em x=10).

Passo 8

Instruções passo a passo para esboçar as trajetórias à mão (faça isso na sua folha de prova):
  1. Trace e marque os eixos x (horizontal) e y (vertical). Escolha uma escala onde x vá pelo menos até 10 e y até pelo menos 32.
  2. Marque os pontos para f: (0,0), (5,25), (10,0). Desenhe uma parábola suave que passe por esses pontos e seja simétrica em x=5, abrindo para baixo.
  3. Marque os pontos para g: (0,0), (4,32), (8,0). Desenhe outra parábola suave que passe por esses pontos e seja simétrica em x=4, abrindo para baixo.
  4. Marque também o ponto de interseção (6,24) — ambas as curvas passam por ele.
  5. Verifique visualmente: entre x=0 e x=6 a curva de g está acima da curva de f; depois de x=6, f fica acima até seu pouso em x=10.
  6. Se quiser pontos extras para refinar o desenho, calcule f(2)=16, g(2)=24, f(8)=16, etc., e coloque no esboço.

Resposta

(a) A pedra dada por g(x) atingiu a maior altura: altura máxima 32 em x=4.
(b) A pedra dada por f(x) tem a maior distância horizontal (alcance): alcance 10 (contra 8 de g).
(c) Esboço — pontos essenciais para desenhar:
f:\\ (0,0),\\ (5,25),\\ (10,0) (eixo de simetria x=5);
g:\\ (0,0),\\ (4,32),\\ (8,0) (eixo de simetria x=4);
interseção adicional em (6,24).

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