Construa o gráfico das funções a seguir:
e) f(x)=x^2-3|x|+2

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função f(x)=x^2-3|x|+2. Aqui o conteúdo principal é valor absoluto e funções quadráticas. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto em forma de função por partes e depois estudar cada ramo (parábola) separadamente.

Passo 2

Primeiro, usamos a definição de valor absoluto: |x|=x se x>=0 e |x|=-x se x<0. Assim, podemos escrever
f(x)=x^2-3x+2,&x>=0,x^2+3x+2,&x<0

Passo 3

Agora, analisamos o ramo direito ( x>=0):
  • A função é f+(x)=x^2-3x+2, uma parábola com concavidade para cima.
  • O vértice está em xv=-(-3)2cdot1=tfrac32.
  • O valor no vértice é f+(tfrac32)=(tfrac32)^2-3cdottfrac32+2=tfrac94-tfrac92+2=-tfrac14
  • As raízes (zeros) vêm de x^2-3x+2=0, isto é x=1 e x=2.
  • Em x=0 temos f+(0)=2, que vai coincidir com o ramo esquerdo.

Passo 4

Agora, o ramo esquerdo ( x<0):
  • A função é f-(x)=x^2+3x+2, também concava para cima.
  • O vértice está em xv=-32cdot1=-tfrac32.
  • O valor no vértice é f-(-tfrac32)=( -tfrac32)^2+3(-tfrac32)+2=tfrac94-tfrac92+2=-tfrac14
  • As raízes vêm de x^2+3x+2=0, ou seja x=-1 e x=-2.
  • Em x=0 temos f-(0)=2, garantindo que os dois ramos se encontrem em (0,2).

Passo 5

Para montar o gráfico, desenhe as duas parábolas:
  • Ramo esquerdo para x<0 com vértice em (-15,-025) e raízes em -2 e -1.
  • Ramo direito para x>=0 com vértice em (15,-025) e raízes em 1 e 2.
  • Ambas passam por (0,2) e são contínuas ali.

Passo 6

Com todos os pontos-chave (vértices, zeros e interseção com o eixo y), basta unir suavemente cada ramo para obter o gráfico completo de f.

Resposta

A forma por partes para desenhar é
f(x)=x^2+3x+2,&x<0,x^2-3x+2,&x>=0,
com vértices em (-15,-025) e (15,-025), zeros em x=-2,-1 (ramo esquerdo) e em x=1,2 (ramo direito), e ponto em (0,2). Esses dados permitem traçar o gráfico completo de f(x).

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