Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(e^x+y-y) d x+(x e^x+y+1) d y=0
F=e^-x

Passo 1

Neste exercício temos a EDO (e^x+y-y),dx+(x e^x+y+1),dy=0. O conteúdo é EDO exata e fator integrante; vamos testar exatidão e, se necessário, usar o fator integrante fornecido F=e^-x para achar a solução.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais para testar exatidão da forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, com M=e^x+y-y e N=x e^x+y+1. Temos
partial Mpartial y=e^x+y-1,partial Npartial x=e^x+y(1+x)
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a EDO não é exata.

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu(x)=e^-x. Isso dá as novas funções
overline M=e^-x(e^x+y-y)=e^y-y e^-x,
$$\overline N=e^{-x}(x e^{x+y}+1)=x ey+e{-x}.
$$

Passo 4

Verifiquemos exatidão agora: calculemos
$$\frac{\partial\overline M}{\partial y}=e^y- e^{-x},\quad\frac{\partial\overline N}{\partial x}=e^y- e^{-x}.
$$
Como coincidem, a EDO ajustada é exata.

Passo 5

Procuramos a função potencial psi(x,y) tal que psix=overline M e psiy=overline N. Integramos em x:
psi(x,y)=integral(e^y-y e^-x),dx= x e^y +y e^-x+h(y)
Derivando em y e igualando a overline N:
psiy= x e^y+e^-x+h'(y)=x e^y+e^-x,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
x e^y + y e^-x=C

Exercícios relacionados