Exercício 2

(1,5 Ponto) a) Seja f: R^3 backslash(0, y, 0) ; y in R R a função dada por f(x, y, z)=(-zx^2+z^2, y, xx^2+z^2). Esta função tem rotacional nulo? Ela é conservativa em R^3 backslash(0, y, 0) ; y in R ?
(1 Ponto) b) Quanto vale integralC f d alpha quando alpha percorre o círculo (x-2)^2+z^2=1, y=0, no sentido anti-horário no plano x z ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
f(x,y,z)=gl(P,Q,Rgr) =l(-tfraczx^2+z^2,,y,,tfracxx^2+z^2r)
em R^3setminus(0,y,0):yinR.
– Conteúdo: rotacional ( nablatimes f) e critério de conservatividade em domínios não simplesmente conexos.
– Para (a) vamos calcular nablatimes f e usar que domínio não é simplesmente conexo (há “furo” ao longo do eixo y).
– Para (b) vamos parametrizar o círculo (x-2)^2+z^2=1,;y=0 e calcular integralCfcdot dalpha.

Passo 2

Calculamos as componentes de nabla times f = (partialyR - partialzQ,; partialzP - partialxR,; partialxQ - partialyP).
1. partialyR = 0, partialzQ = 0\quad Rightarrow\quad (nabla times f)1 = 0.
2.
partialzP = partialzl(-tfraczx^2+z^2r) = -,(x^2+z^2) + 2z^2(x^2+z^2)^2 = -x^2 + z^2(x^2+z^2)^2,
partialxR = partialxl(tfracxx^2+z^2r) = (x^2+z^2) - 2x^2(x^2+z^2)^2 = -x^2 + z^2(x^2+z^2)^2,
logo (nabla times f)2 = partialzP - partialxR = 0.
3. partialxQ = 0, partialyP = 0\quad Rightarrow\quad (nabla times f)3 = 0.

Passo 3

Concluímos que
nablatimes fequiv(0,0,0) em todo o domínio í
Porém R^3setminuseixo y não é simplesmente conexo, então rotacional nulo não garante que f seja conservativo em todo o domínio. De fato, se um laço “envolver” o eixo y, o integral pode ser não nulo.

Passo 4

Agora (b): parametrizamos o círculo
alpha(t)=l(2+cos t,;0,;sin tr), tin[0,2pi],
então
alpha'(t)=(-sin t,,0,,cos t),
e
f(alpha(t)) =l( -tfracsin t(2+cos t)^2+sin^2t,; 0,; tfrac2+cos t(2+cos t)^2+sin^2t r) =l( -tfracsin t5+4cos t,; 0,; tfrac2+cos t5+4cos t r)
O produto escalar é
f(alpha(t))cdotalpha'(t) =sin^2t5+4cos t +(2+cos t)cos t5+4cos t =1+2cos t5+4cos t

Passo 5

Calculamos
integral0^2pi1+2cos t5+4cos t,dt =integral0^2pidt5+4cos t +2integral0^2picos t,dt5+4cos t
Usando fórmulas padrão
integral0^2pidta+bcos t =2piraiza^2-b^2, integral0^2picos t,dta+bcos t =2pibl(1-araiza^2-b^2r),
com a=5,b=4 achamos
integral0^2pidt5+4cos t=tfrac2pi3
e
integral0^2picos t,dt5+4cos t=-tfracpi3
Logo
integralCfcdot dalpha =2pi3+2l(-pi3r) =0

Resposta

a) nablatimes f=0 em R^3setminuseixo y, mas o domínio não é simplesmente conexo, logo f não é conservativo em todo o domínio.
b) integralCfcdot dalpha=0

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