Exercício 2
(1,5 Ponto) a) Seja
a função dada por
. Esta função tem rotacional nulo? Ela é conservativa em
?
(1 Ponto) b) Quanto vale
quando
percorre o círculo
, no sentido anti-horário no plano
? Justifique.
(1 Ponto) b) Quanto vale
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
em
.
– Conteúdo: rotacional ( ) e critério de conservatividade em domínios não simplesmente conexos.
– Para (a) vamos calcular e usar que domínio não é simplesmente conexo (há “furo” ao longo do eixo
).
– Para (b) vamos parametrizar o círculo e calcular
.
– Conteúdo: rotacional (
– Para (a) vamos calcular
– Para (b) vamos parametrizar o círculo
Passo 2
Calculamos as componentes de
.
.
,
\quad
\quad
.
.
logo
.
.
,
\quad
\quad
.
Passo 3
Concluímos que
Porém
não é simplesmente conexo, então rotacional nulo não garante que
seja conservativo em todo o domínio. De fato, se um laço “envolver” o eixo
, o integral pode ser não nulo.
Passo 4
Agora (b): parametrizamos o círculo
então
e
O produto escalar é
Passo 5
Calculamos
Usando fórmulas padrão
com
achamos
e
Logo
e
Logo
Resposta
a)
em
, mas o domínio não é simplesmente conexo, logo
não é conservativo em todo o domínio.
b)
b)