Calcule as energias e as velocidades dos elétrons em órbitas de Bohr circulares em um átomo hidrogenoide usando as expressões relativísticas para energia cinética e momento.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos (sem resolver ainda).\n
  • Pedido: calcular as velocidades e as energias dos elétrons nas órbitas circulares de Bohr para um átomo hidrogenoide (núcleo de carga +Ze), usando as relações relativísticas para momento e energia. Especificamente, queremos expressões em função do número quântico principal n e da carga Z.\n
  • Quantidades físicas e constantes que usaremos (todas extraídas do enunciado implícito do problema):
    • m: massa do elétron.
    • e: carga elementar (módulo).
    • Z: número atômico efetivo do núcleo (para hidrogenoide Z inteiro positivo).
    • n: número quântico principal ( n=1,2,3,\dots).
    • c: velocidade da luz no vácuo.
    • \hbar: constante de Planck reduzida.
    • \varepsilon_0: permissividade do vácuo.
    • a constante de estrutura fina \alpha definida por
    \alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}.
  • O que vamos encontrar: expressão para a velocidade v do elétron em função de Z e n; o fator relativístico \gamma; o raio da órbita r; a energia cinética relativística T; a energia potencial eletrostática U; e a energia total E da partícula ligada (incluindo repouso).

Passo 2

Revisão das fórmulas físicas que vamos usar (cada uma explicada de forma simples).\n
  • Momento relativístico: para uma partícula de massa m e velocidade v,
p=\gamma m v,
onde
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz. Aqui p é o módulo do momento e v é o módulo da velocidade.\n
  • Interpretação: \gamma cresce quando v se aproxima de c; para v\ll c temos \gamma\approx1 e a expressão reduz à conhecida p\approx m v.\n
  • Energia cinética relativística:
T=(\gamma-1)mc^2.
  • Interpretação: é a energia extra além da energia de repouso mc^2.\n
  • Energia total da partícula (energia de repouso + cinética):
E_{\text{part}}=\gamma m c^2.
  • Energia potencial elétrica para um elétron a distância r de um núcleo +Ze:
U(r)=-\dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
  • Sinal negativo porque a força é atrativa.\n
  • Em órbita circular, a força centrípeta necessária é fornecida pela força elétrica de Coulomb. A forma relativística do equilíbrio de forças (módulos) é
\dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\dfrac{\gamma m v^2}{r}.
  • Explicação: no regime relativístico a “força centrípeta” iguala \gamma m v^2/r (equivalente a p v / r) em vez de m v^2/r.\n
  • Postulado de Bohr (versão compatível com relatividade no momento): quantização do momento-angular orbital como
L = p r = n\hbar,
ou seja, o momento linear multiplicado pelo raio é n\hbar. (Aqui usamos p=\gamma m v.)
  • Observação: esta é a hipótese de quantização de Bohr (não a teoria completa de Dirac/Schrödinger), mas é o que o enunciado pede usar.

Passo 3

Usar as duas condições (equilíbrio de forças + quantização) para eliminar r e achar v.\n
  • Começo escrevendo as duas equações chave:
\text{(i)}\quad \dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\dfrac{\gamma m v^2}{r},
\text{(ii)}\quad p r = n\hbar\quad\text{com}\quad p=\gamma m v.
  • Multiplico (ii) por v/r para obter p v / r = n\hbar\, v / r^2. Mas p v / r=\gamma m v^2 / r, que aparece no lado direito de (i). Assim igualando (i) e a expressão a partir de (ii) obtemos:
\dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{n\hbar v}{r^2}.
  • Os r^2 cancelam! (isso é importante e simplifica bastante). Resta:
\dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0} = n\hbar v.
  • Agora isolamos v:
v = \dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0\, n\hbar}.
  • Reconhecendo a constante de estrutura fina \alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}, rewrite:
v = \dfrac{Z\alpha c}{n}.
  • Observação e interpretação: a velocidade depende apenas de Z e n através da combinação Z\alpha/n. Para o hidrogênio ( Z=1, n=1) temos v=\alpha c\approx c/137 (muito menor que c), recuperando o valor de Bohr clássico. Para núcleos grandes Z ou níveis muito baixos n a velocidade pode ficar próxima de c e aí os efeitos relativísticos são importantes; quando Z\alpha/n\ge1 o modelo clássico falha fisicamente (não admite órbitas estáveis nesse esquema).

Passo 4

Expressar o fator \gamma e o raio r da órbita em função de Z e n.\n
  • Definindo \beta=\dfrac{v}{c}, a relação encontrada dá
\beta=\dfrac{Z\alpha}{n}.
  • Portanto o fator de Lorentz é
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}.
  • Para o raio, usamos a quantização p r = n\hbar com p=\gamma m v. Assim
r=\dfrac{n\hbar}{p}=\dfrac{n\hbar}{\gamma m v}.
  • Substituímos v=\dfrac{Z\alpha c}{n} e fazemos pequenas manipulações. Primeiro escrevemos \dfrac{\hbar}{m c} em termos do raio de Bohr a_0. Lembrando que
a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m e^2}=\dfrac{\hbar}{\alpha m c},
logo \dfrac{\hbar}{m c}=\alpha a_0. Substituindo,
r=\dfrac{n\hbar}{\gamma m v} =\dfrac{n\hbar}{\gamma m (Z\alpha c / n)} =\dfrac{n^2\hbar}{\gamma m Z\alpha c} =\dfrac{n^2 a_0}{\gamma Z}.
  • Interpretação: comparando com o raio de Bohr não-relativístico r_{\text{NR}}=\dfrac{n^2 a_0}{Z}, o raio relativístico é menor por um fator \gamma:
r=\dfrac{r_{\text{NR}}}{\gamma}.

Passo 5

Calcular a energia total E, a energia cinética T e a energia potencial U em formas fechadas (usando as expressões já obtidas).\n
  • Energia total (partícula + potencial): convém primeiro escrever a energia total do elétron como soma da energia relativística da partícula e da energia potencial elétrica:
E_{\text{tot}}=\gamma m c^2 + U(r) \quad\text{com}\quad U(r)=-\dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
  • Mas da equação de equilíbrio de forças (Passo 3) temos a relação (multiplicando por r):
\dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = \gamma m v^2.
  • Substituindo essa expressão para \dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} em U(r)
U(r)=-\gamma m v^2.
  • Logo
E_{\text{tot}}=\gamma m c^2 - \gamma m v^2 = \gamma m (c^2 - v^2).
  • Factorizando c^2 e usando 1-\dfrac{v^2}{c^2}=\dfrac{1}{\gamma^2}, obtemos uma forma simples:
E_{\text{tot}}=\gamma m c^2\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right) = \gamma m c^2 \dfrac{1}{\gamma^2} = \dfrac{m c^2}{\gamma}.
  • Substituindo a expressão de \gamma em função de Z e n, temos a forma final elegante:
\boxed{\,E_{\text{tot}}=m c^2\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}\,}.
  • Observação: esta é a energia total do sistema elétron (incluindo a energia de repouso mc^2). A energia de ligação (binding) costuma ser tomada relativa a um elétron livre em repouso (energia mc^2); a energia de ligação é E_{\text{bind}}=E_{\text{tot}}-mc^2=mc^2\left(\sqrt{1-(Z\alpha/n)^2}-1\right), que é negativa.\n
  • Energia cinética relativística T:
T=(\gamma-1)mc^2 =mc^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}-1\right).
  • Energia potencial U (usando U=-\dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} e a relação com \gamma m v^2):
U=-\gamma m v^2 = - m c^2 \,\dfrac{\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}.
  • Verificação rápida (consistência): E_{\text{tot}} = mc^2 + T + U. Substituindo as expressões dadas resulta em E_{\text{tot}}=mc^2/\gamma, consistindo com a forma obtida.

Passo 6

Limite não-relativístico e comentários físicos (para entender como usar as fórmulas na prova).\n
  • Para Z\alpha/n \ll 1 (caso típico de átomos leves e n\ge1), podemos expandir em série:
\sqrt{1-x}\approx 1-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}-\dots \quad\text{com}\quad x=\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2.
  • Então a energia total fica, até ordem x,
E_{\text{tot}}\approx mc^2\left(1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2\right).
  • A energia de ligação (relativa a mc^2) é
E_{\text{bind}}\approx -\dfrac{1}{2}mc^2\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2,
que é exatamente a energia de Bohr não-relativística conhecida:
E_{\text{NR}}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{Z^2 e^4 m}{(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2 n^2}.
  • A velocidade no limite não-relativístico também é v\approx Z\alpha c/n, que para Z=1,n=1 v\approx c/137, pequeno comparado a c, justificando a aproximação não-relativística nesse caso.\n
  • Observação física importante para a prova: quando aplicar as fórmulas certifique-se de que Z\alpha/n<1; caso contrário o modelo de Bohr com quantização pr=n\hbar e órbitas circulares deixa de ter sentido físico (o elétron tornaria-se ultra-relativístico e a teoria quântica correta é necessária).

Passo 7

Resumo das fórmulas finais prontas para uso em prova (práticas — cada uma explicada em uma linha curta).\n
  • Velocidade:
v=\dfrac{Z\alpha c}{n}.
  • Fator relativístico:
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}.
  • Raio da órbita:
r=\dfrac{n^2 a_0}{Z\gamma},\quad\text{com}\quad a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m e^2}=\dfrac{\hbar}{\alpha m c}.
  • Energia total (incluindo repouso):
E_{\text{tot}}=mc^2\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}.
  • Energia cinética relativística:
T=mc^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}-1\right).
  • Energia potencial elétrica:
U=-\,mc^2\;\dfrac{\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}.

Resposta

v=\dfrac{Z\alpha c}{n}\n
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}\n
r=\dfrac{n^2 a_0}{Z\gamma}, com a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m e^2}=\dfrac{\hbar}{\alpha m c}\n
E_{\text{tot}}=m c^2\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}\n
T=mc^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}-1\right)\n
U=-\,mc^2\;\dfrac{\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}{\sqrt{1-\left(\dfrac{Z\alpha}{n}\right)^2}}

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