Calcule as energias e as velocidades dos elétrons em órbitas de Bohr circulares em um átomo hidrogenoide usando as expressões relativísticas para energia cinética e momento.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos (sem resolver ainda).\n
- Pedido: calcular as velocidades e as energias dos elétrons nas órbitas circulares de Bohr para um átomo hidrogenoide (núcleo de carga
), usando as relações relativísticas para momento e energia. Especificamente, queremos expressões em função do número quântico principal e da carga .\n - Quantidades físicas e constantes que usaremos (todas extraídas do enunciado implícito do problema):
-
: massa do elétron. -
: carga elementar (módulo). -
: número atômico efetivo do núcleo (para hidrogenoide inteiro positivo). -
: número quântico principal ( ). -
: velocidade da luz no vácuo. -
: constante de Planck reduzida. -
: permissividade do vácuo. - a constante de estrutura fina
definida por
-
- O que vamos encontrar: expressão para a velocidade
do elétron em função de e ; o fator relativístico ; o raio da órbita ; a energia cinética relativística ; a energia potencial eletrostática ; e a energia total da partícula ligada (incluindo repouso).
Passo 2
Revisão das fórmulas físicas que vamos usar (cada uma explicada de forma simples).\n
- Momento relativístico: para uma partícula de massa
e velocidade ,
onde
é o fator de Lorentz. Aqui
é o módulo do momento e
é o módulo da velocidade.\n
- Interpretação:
cresce quando se aproxima de ; para temos e a expressão reduz à conhecida .\n - Energia cinética relativística:
- Interpretação: é a energia extra além da energia de repouso
.\n - Energia total da partícula (energia de repouso + cinética):
- Energia potencial elétrica para um elétron a distância
de um núcleo :
- Sinal negativo porque a força é atrativa.\n
- Em órbita circular, a força centrípeta necessária é fornecida pela força elétrica de Coulomb. A forma relativística do equilíbrio de forças (módulos) é
- Explicação: no regime relativístico a “força centrípeta” iguala
(equivalente a ) em vez de .\n - Postulado de Bohr (versão compatível com relatividade no momento): quantização do momento-angular orbital como
ou seja, o momento linear multiplicado pelo raio é
. (Aqui usamos
.)
- Observação: esta é a hipótese de quantização de Bohr (não a teoria completa de Dirac/Schrödinger), mas é o que o enunciado pede usar.
Passo 3
Usar as duas condições (equilíbrio de forças + quantização) para eliminar
e achar
.\n
- Começo escrevendo as duas equações chave:
- Multiplico (ii) por
para obter . Mas , que aparece no lado direito de (i). Assim igualando (i) e a expressão a partir de (ii) obtemos:
- Os
cancelam! (isso é importante e simplifica bastante). Resta:
- Agora isolamos
:
- Reconhecendo a constante de estrutura fina
, rewrite:
- Observação e interpretação: a velocidade depende apenas de
e através da combinação . Para o hidrogênio ( , ) temos (muito menor que ), recuperando o valor de Bohr clássico. Para núcleos grandes ou níveis muito baixos a velocidade pode ficar próxima de e aí os efeitos relativísticos são importantes; quando o modelo clássico falha fisicamente (não admite órbitas estáveis nesse esquema).
Passo 4
Expressar o fator
e o raio
da órbita em função de
e
.\n
- Definindo
, a relação encontrada dá
- Portanto o fator de Lorentz é
- Para o raio, usamos a quantização
com . Assim
- Substituímos
e fazemos pequenas manipulações. Primeiro escrevemos em termos do raio de Bohr . Lembrando que
logo
. Substituindo,
- Interpretação: comparando com o raio de Bohr não-relativístico
, o raio relativístico é menor por um fator :
Passo 5
Calcular a energia total
, a energia cinética
e a energia potencial
em formas fechadas (usando as expressões já obtidas).\n
- Energia total (partícula + potencial): convém primeiro escrever a energia total do elétron como soma da energia relativística da partícula e da energia potencial elétrica:
- Mas da equação de equilíbrio de forças (Passo 3) temos a relação (multiplicando por
):
- Substituindo essa expressão para
em dá
- Logo
- Factorizando
e usando , obtemos uma forma simples:
- Substituindo a expressão de
em função de e , temos a forma final elegante:
- Observação: esta é a energia total do sistema elétron (incluindo a energia de repouso
). A energia de ligação (binding) costuma ser tomada relativa a um elétron livre em repouso (energia ); a energia de ligação é , que é negativa.\n - Energia cinética relativística
:
- Energia potencial
(usando e a relação com ):
- Verificação rápida (consistência):
. Substituindo as expressões dadas resulta em , consistindo com a forma obtida.
Passo 6
Limite não-relativístico e comentários físicos (para entender como usar as fórmulas na prova).\n
- Para
(caso típico de átomos leves e ), podemos expandir em série:
- Então a energia total fica, até ordem
,
- A energia de ligação (relativa a
) é
que é exatamente a energia de Bohr não-relativística conhecida:
- A velocidade no limite não-relativístico também é
, que para dá , pequeno comparado a , justificando a aproximação não-relativística nesse caso.\n - Observação física importante para a prova: quando aplicar as fórmulas certifique-se de que
; caso contrário o modelo de Bohr com quantização e órbitas circulares deixa de ter sentido físico (o elétron tornaria-se ultra-relativístico e a teoria quântica correta é necessária).
Passo 7
Resumo das fórmulas finais prontas para uso em prova (práticas — cada uma explicada em uma linha curta).\n
- Velocidade:
- Fator relativístico:
- Raio da órbita:
- Energia total (incluindo repouso):
- Energia cinética relativística:
- Energia potencial elétrica: