Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da superfície definida por
e fazermos um estudo dos seus traços. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas no espaço e uso de cortes (traços) em planos planos para reconhecer sua forma.
Passo 2
Primeiro isolamos
para entender a dependência de altura:
Isso mostra que para cada ponto
temos
e que a altura cresce com o quadrado da distância ao eixo
.
Passo 3
Traços horizontais (em planos
). Se fixamos
, a equação vira
Para
obtemos apenas o ponto
. Para
vêm elipses cujo semieixo maior e menor são iguais, ou seja, círculos de raio
. Logo, são seções circulares centradas no eixo
.
Passo 4
Traços verticais em planos
ou
. Por exemplo, em
fixo a equação fica
Isto é uma parábola no plano
\–
, com vértice em
. De modo análogo, em
fixo surge outra parábola no plano
\–
.
Passo 5
Com esses traços concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico (na verdade circular, pois as elipses são círculos) com eixo de simetria ao longo de
, vértice em
e que “abre” para cima. Para esboçar, basta desenhar círculos de raio
em alturas
crescentes e unir suavemente as bordas, completando os perfis parabólicos nos cortes verticais.
Resposta
O gráfico é um paraboloide elíptico (circular) de vértice em
, abertura para cima, com seções horizontais
dadas por círculos de raio
e seções verticais em
constante ou
constante dadas por parábolas.