Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8}=2 z.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da superfície definida por
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8}=2\,z
e fazermos um estudo dos seus traços. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas no espaço e uso de cortes (traços) em planos planos para reconhecer sua forma.

Passo 2

Primeiro isolamos z para entender a dependência de altura:
2\,z=\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8} \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}.
Isso mostra que para cada ponto (x,y) temos z\ge0 e que a altura cresce com o quadrado da distância ao eixo z.

Passo 3

Traços horizontais (em planos z=z_{0}). Se fixamos z=z_{0}\ge0, a equação vira
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8}=2\,z_{0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{16\,z_{0}}+\frac{y^{2}}{16\,z_{0}}=1.
Para z_{0}=0 obtemos apenas o ponto (0,0,0). Para z_{0}>0 vêm elipses cujo semieixo maior e menor são iguais, ou seja, círculos de raio \sqrt{16\,z_{0}}=4\sqrt{z_{0}}. Logo, são seções circulares centradas no eixo z.

Passo 4

Traços verticais em planos x=x_{0} ou y=y_{0}. Por exemplo, em x=x_{0} fixo a equação fica
\frac{y^{2}}{8}=2\,z-\frac{x_{0}^{2}}{8} \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{y^{2}}{16}+\frac{x_{0}^{2}}{16}.
Isto é uma parábola no plano y\– z, com vértice em \bigl(y=0,\;z=\tfrac{x_{0}^{2}}{16}\bigr). De modo análogo, em y=y_{0} fixo surge outra parábola no plano x\– z.

Passo 5

Com esses traços concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico (na verdade circular, pois as elipses são círculos) com eixo de simetria ao longo de z, vértice em (0,0,0) e que “abre” para cima. Para esboçar, basta desenhar círculos de raio 4\sqrt{z_{0}} em alturas z_{0} crescentes e unir suavemente as bordas, completando os perfis parabólicos nos cortes verticais.

Resposta

O gráfico é um paraboloide elíptico (circular) de vértice em (0,0,0), abertura para cima, com seções horizontais z=z_{0} dadas por círculos de raio 4\sqrt{z_{0}} e seções verticais em x= constante ou y= constante dadas por parábolas.

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