Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}-\frac{z^{2}}{25}=1.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do hiperboloide de duas folhas dado por
\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}-\frac{z^{2}}{25}=1
Isso é um estudo de superfícies quádricas: vamos identificar que tipo de superfície é e examinar seus traços em planos coordenados e planos paralelos a eles.

Passo 2

Para classificar, observe os sinais dos termos quadráticos: \frac{x^{2}}{64} é positivo e -\frac{y^{2}}{100}, -\frac{z^{2}}{25} são negativos. Uma forma geral
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
com um coeficiente positivo e dois negativos define um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal está alinhado com o eixo da variável de coeficiente positivo, aqui o eixo x.

Passo 3

Trace nos planos coordenados:
  1. Plano y=0:
\frac{x^{2}}{64}-\frac{z^{2}}{25}=1
é uma hipérbole no plano xz com assíntotas z=\pm\frac{5}{8}x.
2. Plano z=0:
\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=1
é outra hipérbole, agora no plano xy, com assíntotas y=\pm\frac{10}{8}x=\pm\frac{5}{4}x.
3. Plano x=0:
-\frac{y^{2}}{100}-\frac{z^{2}}{25}=1
não admite solução real, logo não há interseção com esse plano.

Passo 4

Trace em planos paralelos a x=0, ou seja x=k:
A equação fica
-\frac{y^{2}}{100}-\frac{z^{2}}{25}=1-\frac{k^{2}}{64}
ou seja
\frac{y^{2}}{100}+\frac{z^{2}}{25}=\frac{k^{2}}{64}-1\,.
Para |k|>8 o lado direito é positivo, resultando numa elipse cuja excentricidade e dimensão crescem com |k|. Em |k|=8 surge um ponto único (8,0,0) ou (-8,0,0). Para |k|<8 não há interseção.

Passo 5

Trace em planos y=k ou z=k:
  • Se y=k, tem-se
\frac{x^{2}}{64}-\frac{z^{2}}{25}=1+\frac{k^{2}}{100}>1,
que é sempre uma hipérbole no plano xz.
  • Se z=k, tem-se
\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=1+\frac{k^{2}}{25}>1,
que é sempre uma hipérbole no plano xy.

Passo 6

A cone assintótico obtém-se igualando a zero o membro de fora:
\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}-\frac{z^{2}}{25}=0,
representando dois cones com vértice na origem que tangenciam o hiperboloide de duas folhas.

Passo 7

Juntando tudo:
  • Não existe parte da superfície para -8<x<8.
  • Em x=\pm8 estão os vértices (\pm8,0,0).
  • Para |x|>8 as seções transversais são elipses centradas em (x,0,0), crescendo conforme |x| aumenta.
  • As seções em planos paralelos a y=0 ou z=0 são hipérboles.
  • A superfície se abre em duas folhas simétricas ao redor de x=0, cada uma contida na região |x|\ge8.

Resposta

O hiperboloide de duas folhas está centrado na origem, com eixo principal ao longo de x, vértices em (8,0,0) e (-8,0,0), folhas abertas para x>8 e x<-8. As seções x=k |k|>8 são elipses, as seções y=k ou z=k são hipérboles, e o cone \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}-\frac{z^{2}}{25}=0 é o cone assintótico.

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