Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do hiperboloide de duas folhas dado por
Isso é um estudo de superfícies quádricas: vamos identificar que tipo de superfície é e examinar seus traços em planos coordenados e planos paralelos a eles.
Passo 2
Para classificar, observe os sinais dos termos quadráticos:
é positivo e
,
são negativos. Uma forma geral
com um coeficiente positivo e dois negativos define um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal está alinhado com o eixo da variável de coeficiente positivo, aqui o eixo
.
Passo 3
Trace nos planos coordenados:
- Plano
:
é uma hipérbole no plano
com assíntotas
.
2. Plano :
2. Plano
é outra hipérbole, agora no plano
, com assíntotas
.
3. Plano :
3. Plano
não admite solução real, logo não há interseção com esse plano.
Passo 4
Trace em planos paralelos a
, ou seja
:
A equação fica
A equação fica
ou seja
Para
o lado direito é positivo, resultando numa elipse cuja excentricidade e dimensão crescem com
. Em
surge um ponto único
ou
. Para
não há interseção.
Passo 5
Trace em planos
ou
:
- Se
, tem-se
que é sempre uma hipérbole no plano
.
- Se
, tem-se
que é sempre uma hipérbole no plano
.
Passo 6
A cone assintótico obtém-se igualando a zero o membro de fora:
representando dois cones com vértice na origem que tangenciam o hiperboloide de duas folhas.
Passo 7
Juntando tudo:
- Não existe parte da superfície para
. - Em
estão os vértices . - Para
as seções transversais são elipses centradas em , crescendo conforme aumenta. - As seções em planos paralelos a
ou são hipérboles. - A superfície se abre em duas folhas simétricas ao redor de
, cada uma contida na região .
Resposta
O hiperboloide de duas folhas está centrado na origem, com eixo principal ao longo de
, vértices em
e
, folhas abertas para
e
. As seções
são elipses, as seções
ou
são hipérboles, e o cone
é o cone assintótico.