Construa o gráfico das seguintes funções de
f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1+\sqrt{x}, \text { se } x>0 \\\ -1, \text { se }-1<x<0 \\\ -2+|x+2|, \text { se } x<-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para construir (esboçar) o gráfico da função
f(x)=\begin{cases} -1+\sqrt{x}, & \text{se } x>0,\\[4pt] -1, & \text{se } -1<x<0,\\[4pt] -2+|x+2|, & \text{se } x<-1. \end{cases}
Informações que o enunciado dá (listadas claramente):
  • A função é definida por três expressões, cada uma válida em um intervalo diferente: \;x>0, \;-1<x<0 e \;x<-1.
  • Observação importante: os pontos x=0 e x=-1 não pertencem a nenhum dos três intervalos, logo f(0) e f(-1) NÃO estão definidos (são pontos onde a função tem “buracos”, possivelmente com limite).
  • A expressão envolvendo valor absoluto |x+2| aparece para x<-1; isso normalmente exige dividir em subcasos dependendo do sinal de x+2.]

Passo 2

Analisar o domínio efetivo (onde a função está definida) e os pontos críticos:
  • Domínio da função: (-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,\infty).
  • Pontos de fronteira a verificar: x=-1 e x=0. Ambos não estão incluídos nas condições dadas, então vão aparecer como pontos ods (buracos) se os limites laterais existirem.
  • Outro ponto importante ligado ao valor absoluto: x+2=0 em x=-2. Como x=-2 pertence ao intervalo x<-1, é preciso checar a forma de |x+2| à esquerda e à direita de -2 (na mesma parte da definição).

Passo 3

Analisar o ramo para x<-1: \;f(x)=-2+|x+2|.
  • Para lidar com |\cdot|, dividir em dois subcasos com base no sinal de x+2:
    • Se x+2<0 (isto é, x<-2), então |x+2|=-(x+2)=-x-2. Substituindo: f(x)=-2+(-x-2)=-x-4,\quad \text{para }x<-2.Isso é uma reta de coeficiente angular -1 e intercepto em -4.
      Alguns pontos de referência (todos em \,x<-2): f(-3)=-(-3)-4=3-4=-1,\qquad f(-4)=-(-4)-4=4-4=0.À medida que x\to-\infty, f(x)=-x-4\to+\infty.
    • Se x+2\ge0 (isto é, -2\le x<-1), então |x+2|=x+2. Substituindo: f(x)=-2+(x+2)=x,\quad \text{para }-2\le x<-1.Aqui f é a reta y=x nesse intervalo. Verificação em x=-2: f(-2)=-2+|{-2}+2|=-2+0=-2,e a fórmula f(x)=x também dá f(-2)=-2: há continuidade em x=-2. O ponto x=-2 pertence ao domínio, logo (-2,-2) é um ponto incluído no gráfico.
  • Em x\to-1^{-} (aproximação pela esquerda), usando a fórmula f(x)=x válida para -2\le x<-1, obtemos \lim_{x\to-1^-}f(x)=-1.

Passo 4

Analisar o ramo para -1<x<0: \;f(x)=-1.
  • É simplesmente um segmento horizontal de altura -1, definido estritamente no intervalo aberto (-1,0).
  • Como o intervalo é aberto nas duas extremidades, os pontos (-1,-1) e (0,-1) não pertencem ao gráfico (serão círculos abertos se quisermos marcar).
  • Valores de referência: para qualquer x em (-1,0), f(x)=-1. O limite à esquerda em x\to-1^+ é -1 e o limite à direita em x\to0^- também é -1.

Passo 5

Analisar o ramo para x>0: \;f(x)=-1+\sqrt{x}.
  • Esta é a raiz quadrada padrão \sqrt{x} deslocada verticalmente para baixo em 1 unidade.
  • Comportamento próximo de 0: \sqrt{x}\to0 quando x\to0^+, então \lim_{x\to0^+}f(x)=-1.Porém x=0 não está incluído no domínio, logo (0,-1) é um buraco (círculo aberto).
  • Alguns pontos de referência (todos com x>0): f(0{,}25)=-1+\sqrt{0{,}25}=-1+0{,}5=-0{,}5,
f(1)=-1+1=0,\qquad f(4)=-1+2=1.
  • Para x\to+\infty, f(x)\to+\infty mas crescendo lentamente (ordem \sqrt{x}). A curva é contínua e crescente em x>0, com derivada f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (positiva para x>0), o que explica a subida.

Passo 6

Montar o gráfico juntando os ramos e concluindo sobre continuidade e pontos:
  • Ramo esquerdo ( x<-1):
    • Para x<-2: reta y=-x-4.
    • De -2 até -1 (incluindo -2 mas excluindo -1): reta y=x.
    • O ponto (-2,-2) pertence ao gráfico (ponto preenchido).
    • \lim_{x\to-1^-}f(x)=-1.
  • Ramo do meio ( -1<x<0): segmento horizontal y=-1 com ambos os extremos abertos. Em particular os pontos (-1,-1) e (0,-1) são não pertencentes ao gráfico (círculos abertos).
  • Ramo direito ( x>0): curva y=-1+\sqrt{x}, contínua e crescente para x>0, aproximando-se de -1 quando x\to0^+ (mas sem incluir (0,-1)).
  • Observações sobre os buracos e continuidade:
    • Em x=-1: tanto \lim_{x\to-1^-}f(x)=-1 quanto \lim_{x\to-1^+}f(x)=-1, logo existe limite comum igual a -1, mas f(-1) não está definido. No gráfico isso é um buraco em (-1,-1).
    • Em x=0: tanto \lim_{x\to0^-}f(x)=-1 quanto \lim_{x\to0^+}f(x)=-1, existe limite comum igual a -1, mas f(0) não está definido. No gráfico isso é um buraco em (0,-1).
    • Em x=-2: o ponto (-2,-2) está no domínio e é um ponto de cunha onde as duas fórmulas para a parte |x+2| coincidem; o gráfico é contínuo em -2.
  • Pontos práticos para desenhar (marcar no papel):
    • (-2,-2) ponto preenchido.
    • Buracos (círculos abertos) em (-1,-1) e (0,-1).
    • Alguns pontos do ramo à esquerda: (-3,-1), (-4,0) (esses confirmam a reta y=-x-4 para x<-2).
    • Alguns pontos do ramo da direita: (0{,}25,-0{,}5), (1,0), (4,1).
  • Instrução rápida para desenhar à mão:
    1. Desenhar eixos x e y.
    2. Marcar e preencher o ponto (-2,-2).
    3. Traçar a reta y=x no trecho -2\le x<-1 (terminar em um círculo aberto em (-1,-1)).
    4. Traçar a reta y=-x-4 para x<-2.
    5. Traçar o segmento horizontal y=-1 para -1<x<0 com círculos abertos nas extremidades.
    6. Desenhar a curva y=-1+\sqrt{x} para x>0, começando próxima ao buraco em (0,-1) e subindo suavemente para a direita.
    7. Marcar os buracos em (-1,-1) e (0,-1) (círculos vazios).

Resposta

O gráfico é a união dos seguintes trechos (com as informações sobre inclusão/exclusão dos pontos):
\; \{(x,-x-4)\mid x<-2\} (reta para x<-2);
\; \{(x,x)\mid -2\le x<-1\} (reta y=x no segmento [-2,-1), com (-2,-2) incluído e (-1,-1) excluído);
\; \{(x,-1)\mid -1<x<0\} (segmento horizontal em y=-1 com extremos abertos em (-1,-1) e (0,-1));
\; \{(x,-1+\sqrt{x})\mid x>0\} (curva raiz para x>0, aproximando-se de -1 quando x\to0^+, com (0,-1) excluído).

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