Determine y em função de x.
\ln y=2 x+4

Passo 1

O enunciado pede: "Determine y em função de x". A informação que temos é
\ln y = 2x + 4.
Aqui x é a variável independente (pode ser qualquer número real) e y é a variável dependente que queremos isolar. Observação importante: a função \ln (logaritmo natural) só está definida para y>0. Ou seja, a solução deverá satisfazer y>0.

Passo 2

Conceito chave (mini-aula): o logaritmo natural \ln é a função inversa da exponencial de base e. Isso significa duas coisas úteis:
  • Para todo número real t vale \ln\bigl(e^{t}\bigr)=t.
  • Para todo y>0 vale e^{\ln y}=y.
Em palavras: aplicar e^{(\cdot)} “desfaz” a \ln, e aplicar \ln “desfaz” e^{(\cdot)}. Exemplo simples: se \ln y=1 então y=e^{1}=e.

Passo 3

Aplicar e^{(\cdot)} em ambos os lados da equação para desfazer o \ln. Assim:
e^{\ln y} = e^{2x+4}.
Pela propriedade da inversão (ver passo anterior), o lado esquerdo simplifica para y, desde que y>0. Portanto
y = e^{2x+4}.

Passo 4

Podemos também reescrever a resposta usando propriedades de expoentes para ficar mais prática na hora da prova. Como e^{a+b}=e^{a}e^{b}, obtemos
y = e^{2x+4} = e^{4}\,e^{2x}.
Outra forma alternativa (menos comum, mas válida) é
y = e^{4}\,(e^{2})^{x}.

Passo 5

Resumo da condição de domínio: a solução y=e^{2x+4} satisfaz automaticamente y>0 para todo x\in\mathbb{R}, portanto é válida sem restrições adicionais. Força aí — na prova faça exatamente esses passos: aplicar exponencial para inverter o \ln e usar as regras de potência se quiser simplificar.

Resposta

y = e^{2x+4}

Exercícios relacionados