Determine a solução geral da equação diferencial:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=n+3^{n}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da sequência x_n definida pela recorrência linear de segunda ordem não homogênea
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n = n + 3^n.
Informações relevantes dadas:
  1. A equação é linear, com coeficientes constantes, de ordem 2.
  2. O termo não-homogêneo é a soma de duas partes: um polinômio em n de grau 1 (ou seja, n) e uma sequência exponencial 3^n.
  3. O objetivo é encontrar a solução geral x_n, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n = 0.
A técnica padrão é procurar soluções da forma x_n = r^n. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-5r+6=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=3, distintas. Assim a solução geral da homogênea é
x_n^{(h)} = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n,
onde A e B são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, caso fossem fornecidas).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular x_n^{(p)} para a parte não-homogênea n + 3^n. Pela linearidade, podemos procurar separadamente uma particular para n e outra para 3^n, e somá-las:
x_n^{(p)} = x_n^{(p,1)} + x_n^{(p,2)},
onde x_n^{(p,1)} resolve o caso com RHS n e x_n^{(p,2)} resolve o caso com RHS 3^n.
Regra de tentativa (método dos coeficientes a determinar):
  • Para um termo polinomial em n de grau d, tentamos uma solução particular que seja um polinómio de grau d com coeficientes a determinar, exceto se 1 (ou seja r=1) for raiz do polinômio característico — nesse caso multiplicaríamos por n^s. Aqui 1 não é raiz da característica, então não precisamos multiplicar.
  • Para um termo c\cdot r^n, se r for raiz simples da característica, multiplicamos a tentativa por n; se tiver multiplicidade m, multiplicamos por n^m. No nosso caso r=3 é raiz simples da característica (veja passo 2), então a tentativa para 3^n deve ser multiplicada por n.

Passo 4

Procuramos x_n^{(p,1)} para o RHS n. Tentativa:
x_n^{(p,1)} = \alpha n + \beta,
com \alpha,\beta constantes a determinar. Aplicamos o operador linear L definido por L[x]_n = x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n. Calculamos L[x^{(p,1)}]_n:
Primeiro,
x_{n+1}^{(p,1)} = \alpha(n+1)+\beta = \alpha n + \alpha + \beta,
x_{n+2}^{(p,1)} = \alpha(n+2)+\beta = \alpha n + 2\alpha + \beta.
Então
\begin{aligned} L[x^{(p,1)}]_n &= (\alpha n + 2\alpha + \beta) - 5(\alpha n + \alpha + \beta) + 6(\alpha n + \beta) \\\ &= \alpha n + 2\alpha + \beta -5\alpha n -5\alpha -5\beta +6\alpha n +6\beta. \end{aligned}
Juntando termos em n e constantes:
\text{coeficiente de }n: \quad \alpha(1 -5 +6) = 2\alpha,
\text{constante: } \quad 2\alpha + \beta -5\alpha -5\beta +6\alpha +6\beta = 3\alpha + 2\beta.
Logo
L[x^{(p,1)}]_n = 2\alpha\, n + (3\alpha + 2\beta).
Queremos que isso seja igual a n. Igualando coeficientes do polinômio em n:
2\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \tfrac{1}{2},
3\alpha + 2\beta = 0 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot\tfrac{1}{2} + 2\beta =0 \;\Rightarrow\; \tfrac{3}{2} + 2\beta =0 \;\Rightarrow\; \beta = -\tfrac{3}{4}.
Portanto
x_n^{(p,1)} = \tfrac{1}{2} n - \tfrac{3}{4}.

Passo 5

Agora procuramos x_n^{(p,2)} para o RHS 3^n. Como r=3 é raiz simples da característica, a tentativa apropriada é
x_n^{(p,2)} = \gamma\, n\, 3^n,
com \gamma a determinar. Calculamos L[x^{(p,2)}]_n. Primeiro escrevemos
x_n^{(p,2)} = \gamma n 3^n,\quad x_{n+1}^{(p,2)} = \gamma (n+1) 3^{n+1},\quad x_{n+2}^{(p,2)} = \gamma (n+2) 3^{n+2}.
Fatorando 3^n:
\begin{aligned} L[x^{(p,2)}]_n &= \gamma 3^n\big[9(n+2) -5\cdot 3 (n+1) + 6 n\big] \\\ &= \gamma 3^n\big[9n+18 -15n -15 +6n\big]. \end{aligned}
Somando os termos em n:
9n -15n +6n = 0,
e nas constantes:
18 -15 = 3.
Logo o colchete dá 3, portanto
L[x^{(p,2)}]_n = \gamma \cdot 3 \cdot 3^n = 3\gamma\,3^n.
Queremos isto igual a 3^n, então
3\gamma = 1 \quad\Rightarrow\quad \gamma = \tfrac{1}{3}.
Assim
x_n^{(p,2)} = \tfrac{1}{3} n 3^n.

Passo 6

A solução particular total é a soma das partes:
x_n^{(p)} = x_n^{(p,1)} + x_n^{(p,2)} = \tfrac{1}{2} n - \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{3} n 3^n.
A solução geral da recorrência é a soma da solução homogênea com a solução particular:
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n + \tfrac{1}{3} n 3^n + \tfrac{1}{2} n - \tfrac{3}{4},
onde A e B são constantes arbitrárias (determinadas por eventuais condições iniciais).

Resposta

x_n = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n + \tfrac{1}{3} n 3^n + \tfrac{1}{2} n - \tfrac{3}{4},
com A,B constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados