Determine a solução geral da equação diferencial:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da sequência
definida pela recorrência linear de segunda ordem não homogênea
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, de ordem 2.
- O termo não-homogêneo é a soma de duas partes: um polinômio em
de grau 1 (ou seja, ) e uma sequência exponencial . - O objetivo é encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
A técnica padrão é procurar soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
portanto as raízes são
e
, distintas. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, caso fossem fornecidas).
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a parte não-homogênea
. Pela linearidade, podemos procurar separadamente uma particular para
e outra para
, e somá-las:
onde
resolve o caso com RHS
e
resolve o caso com RHS
.
Regra de tentativa (método dos coeficientes a determinar):
- Para um termo polinomial em
de grau , tentamos uma solução particular que seja um polinómio de grau com coeficientes a determinar, exceto se (ou seja ) for raiz do polinômio característico — nesse caso multiplicaríamos por . Aqui não é raiz da característica, então não precisamos multiplicar. - Para um termo
, se for raiz simples da característica, multiplicamos a tentativa por ; se tiver multiplicidade , multiplicamos por . No nosso caso é raiz simples da característica (veja passo 2), então a tentativa para deve ser multiplicada por .
Passo 4
Procuramos
para o RHS
. Tentativa:
com
constantes a determinar. Aplicamos o operador linear
definido por
. Calculamos
:
Primeiro,
Então
Juntando termos em
e constantes:
Logo
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes do polinômio em
:
Portanto
Passo 5
Agora procuramos
para o RHS
. Como
é raiz simples da característica, a tentativa apropriada é
com
a determinar. Calculamos
. Primeiro escrevemos
Fatorando
:
Somando os termos em
:
e nas constantes:
Logo o colchete dá
, portanto
Queremos isto igual a
, então
Assim
Passo 6
A solução particular total é a soma das partes:
A solução geral da recorrência é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinadas por eventuais condições iniciais).
Resposta
com
constantes arbitrárias.