Construa o gráfico das seguintes funções de em .
d)
Passo 1
A questão pede para montar o gráfico da função por partes
dada por
f(x)=–1 se x>1,
f(x)=√(1–x²) se 0<x<1,
f(x)=|x–1| se x<0.
Vamos usar conteúdo de funções definidas por partes e de gráficos de funções elementares (reta, circunferência e valor absoluto).
Passo 2
Para x>1 temos f(x)=–1. Isso é uma reta horizontal de equação
y=-1
para todo x>1. No gráfico isso aparece como uma linha reta paralela ao eixo x, sem incluir o ponto em x=1 (pois a definição é só para x>1).
Passo 3
Para 0<x<1 temos f(x)=raiz1-x^2. Isso descreve a semicircunferência superior de raio 1 centrada na origem, pois satisfaz
x^2 + y^2 = 1, y>=0
Desenhamos apenas a parte dessa curva com 0<x<1, e como x=0 e x=1 não estão incluídos, marcamos círculos abertos nos extremos.
Passo 4
Para x<0 temos f(x)=|x-1|. Note que se x<0 então x-1<0, logo
|x-1|=-(x-1)=1-x
Isso é uma reta de equação y=1–x, com coeficiente angular -1 e intercepto em y=1. Desenhamos para x<0, sem incluir o ponto em x=0.
Passo 5
Por fim, analisamos os pontos de fronteira x=0 e x=1: não há definição nesses pontos, então marcamos círculos abertos em
(0, f(0±))=(0,1) e em (1,0) e (1,–1) (pois o ramo da semicircunferência dá f(1–)=0 e o ramo constante para x>1 dá f(1+)=–1).
Passo 6
Juntando tudo, o gráfico fica com três pedaços:
reta y=1–x para x<0;
semicircunferência de raio 1 acima do eixo para 0<x<1;
reta horizontal y=–1 para x>1;
e círculos abertos nas fronteiras x=0 e x=1.
Resposta
O gráfico é composto de três pedaços:
Para x<0: reta decrescente y=1–x, sem incluir x=0 (círculo aberto em (0,1)).
Para 0<x<1: semicircunferência superior de raio 1 (equação x²+y²=1, y≥0), sem incluir os pontos em x=0 e x=1 (círculos abertos em (0,1) e (1,0)).
Para x>1: reta horizontal y=–1, sem incluir x=1 (círculo aberto em (1,–1)).