Construa o gráfico das seguintes funções
(a) y=ln (-x);
(b) y=ln (x+1);
© y=x ln (x);
(d) y=ln |x|.

Passo 1

O enunciado pede pra desenhar quatro funções que envolvem logaritmos e seus deslocamentos e produtos com x. Vamos usar conhecimentos de domínio, assíntotas, interceptos e comportamento assintótico para esboçar cada gráfico.

Passo 2

Função (a) y = ln(-x): o domínio é x < 0 porque só faz sentido ln de argumento positivo. Temos uma reflexão do ln(x) em torno do eixo y. A assíntota vertical é x = 0. Conforme x → 0⁻, y → –∞; conforme x → –∞, y → +∞. O gráfico é igual ao de y = ln(u) trocando u = –x.

Passo 3

Função (b) y = ln(x+1): o domínio é x > –1. É um deslocamento de ln(x) uma unidade para a esquerda. A assíntota vertical é x = –1. Quando x → –1⁺, y → –∞; quando x → +∞, y → +∞. Passa por (0, ln(1)) = (0,0).

Passo 4

Função © y = x·ln(x): o domínio é x > 0. Para esboçar, usamos derivada: y’ = ln(x) + 1, que se anula em x = e^(–1). Em x = 1/e obtemos um mínimo local y = (1/e)·ln(1/e) = –1/e. Em x → 0⁺, x ln(x) → 0 (por x dominar ln(x)). Em x → +∞, y → +∞. Intercepto em x = 1, y=0.

Passo 5

Função (d) y = ln|x|: o domínio é x ≠ 0. É o gráfico de ln(x) para x>0 e de ln(–x) para x<0. A assíntota vertical em x = 0. Para ambos os ramos, quando |x| → +∞, y → +∞; quando x → 0, y → –∞.

Resposta

Esboços qualitativos:
(a) ramo para x<0 igual ao ln refletido no eixo y com assíntota em x=0;
(b) ln deslocado 1 unidade à esquerda, assíntota em x=–1;
© curva com mínimo em x=1/e, passando por (1,0), x→0⁺ vai a 0 e cresce para +∞;
(d) dois ramos de ln, um para x>0 e outro simétrico para x<0, assíntota em x=0.

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