Determine o domínio das seguintes funções.
(a)
;
(b)
;
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O enunciado pede para achar o domínio de três funções, envolvendo restrições de arccos, raiz quadrada e arcsen com logaritmo. Vamos usar que o domínio de $\arccos(u)$ exige $-1\le u\le1$, que de $\sqrt{v}$ exige $v\ge0$ e que de $\arcsen(w)$ exige $-1\le w\le1$, além das restrições naturais de logaritmo e denominador.
Passo 2
Para (a)
precisamos de $-1\le \tfrac{2x}{1+x}\le1$ e $x\neq -1$. Em bloco:
precisamos de $-1\le \tfrac{2x}{1+x}\le1$ e $x\neq -1$. Em bloco:
$$
-1 \le \frac{2x}{1+x} \le 1.
$$
-1 \le \frac{2x}{1+x} \le 1.
$$
Fazendo análise em casos de sinal de $1+x$:
- Se $1+x>0$ (i.e. $x>-1$) então:
$$
-1 \le \frac{2x}{1+x} \iff 2x \ge -1 - x \iff 3x \ge -1 \iff x \ge -\tfrac13,
$$
-1 \le \frac{2x}{1+x} \iff 2x \ge -1 - x \iff 3x \ge -1 \iff x \ge -\tfrac13,
$$
$$
\frac{2x}{1+x} \le 1 \iff 2x \le 1 + x \iff x \le 1.
$$
\frac{2x}{1+x} \le 1 \iff 2x \le 1 + x \iff x \le 1.
$$
Combinando com $x>-1$ dá $-\tfrac13 \le x \le 1$.
- Se $1+x<0$ (i.e. $x<-1$) então a segunda desigualdade não tem solução neste ramo. Logo o domínio fica
$$
\bigl[-\tfrac13,1\bigr].
$$
\bigl[-\tfrac13,1\bigr].
$$
Passo 3
Para (b)
exige $\sin(2x)\ge0$. Sabendo que $\sin(θ)\ge0$ para $θ\in[2kπ,(2k+1)π]$, temos:
$$
2x \in [2k\pi,(2k+1)\pi],\quad k\in\mathbb{Z}
$$
2x \in [2k\pi,(2k+1)\pi],\quad k\in\mathbb{Z}
$$
$$
x \in [k\pi,,k\pi+\tfrac{\pi}{2}],\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
x \in [k\pi,,k\pi+\tfrac{\pi}{2}],\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
Passo 4
Para ©
exige $-1\le \log_{10}(\tfrac{x}{10})\le1$ e $x>0$. Em bloco:
$$
-1 \le \log_{10}\Bigl(\frac{x}{10}\Bigr) \le 1.
$$
-1 \le \log_{10}\Bigl(\frac{x}{10}\Bigr) \le 1.
$$
Inequações:
$$
\log_{10}\Bigl(\frac{x}{10}\Bigr) \ge -1 \iff \frac{x}{10} \ge 10^{-1} \iff x \ge 1,
$$
\log_{10}\Bigl(\frac{x}{10}\Bigr) \ge -1 \iff \frac{x}{10} \ge 10^{-1} \iff x \ge 1,
$$
$$
\log_{10}\Bigl(\frac{x}{10}\Bigr) \le 1 \iff \frac{x}{10} \le 10^1 \iff x \le 100.
$$
\log_{10}\Bigl(\frac{x}{10}\Bigr) \le 1 \iff \frac{x}{10} \le 10^1 \iff x \le 100.
$$
Com $x>0$ resulta
$$
x \in [1,100].
$$
x \in [1,100].
$$
Resposta
a) [-1/3, 1]
b)
c) [1, 100]
b)
c) [1, 100]