Construa os gráficos das funções. Dê o seu domínio e imagem.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que se construam os gráficos e que se indiquem o domínio e a imagem (o conjunto de valores que
assume). Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio quadrático em
: termo e termo constante . - O que se pede explicitamente: domínio e imagem.
Passo 2
Identificar a forma e o comportamento geral da função (o que já nos dá pistas para o gráfico).
- Uma função do tipo
com é uma parábola. - Aqui
, logo a parábola se abre para cima (tem um mínimo). - A forma dada já está praticamente na forma vértice, pois
Isso indica que o vértice está em
.
Passo 3
Determinar o vértice com cuidado (passo essencial para desenhar a parábola).
- A forma
tem vértice em . - Aqui
tem e . - Portanto o vértice é o ponto
Esse é o ponto mais baixo da parábola (mínimo), porque
.
Passo 4
Eixo de simetria e direção da abertura.
- O eixo de simetria da parábola é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja
- Como já dito, a parábola abre para cima (mais e mais positiva quando
cresce).
Passo 5
Calcular interceptos com os eixos (pontos úteis para o gráfico).
- Intercepto com o eixo
: tomar ,
Logo o ponto
é também o intercepto
(é o vértice).
- Interceptos com o eixo
: resolver . Assim
Os interceptos com
são os pontos
Passo 6
Verificar monotonicidade (útil para desenhar a forma precisa).
- Derivada: para uma função
,
- Zeros da derivada:
em (o ponto crítico que é o mínimo). - Sinal de
: - Para
, → função decrescente em . - Para
, → função crescente em .
Isso confirma queé mínimo global.
- Para
Passo 7
Determinar domínio e imagem com justificativa clara.
- Domínio: sendo um polinômio (expressão algébrica sem divisão por zero nem raiz par de expressão negativa), ele está definido para todo
. Logo
- Imagem (conjunto de valores de
): como a parábola abre para cima e tem mínimo atingido em , todos os valores de são maiores ou iguais a . Portanto
Passo 8
Instrução prática e rápida para desenhar o gráfico (passos que você pode seguir numa prova sem calculadora).
- Marque o vértice em
. - Trace a reta de simetria
(eixo vertical). - Marque os interceptos com o eixo
em . - Calcule mais alguns pontos se quiser confirmar a curvatura: por exemplo
Use os pontos simétricos e (porque a função é par: ). - Ligue os pontos formando uma curva suave em forma de U que passa pelos pontos citados, com mínimo em
e subindo à medida que aumenta.
Passo 9
Resumo final rápido (para conferir antes da prova):
- Parâmetros importantes: vértice
, eixo de simetria , interceptos e . - Domínio e imagem conforme calculado no Passo 7.