Construa os gráficos das funções. Dê o seu domínio e imagem.
y=x^{2}-\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = x^{2} - \tfrac{1}{4}
e pede que se construam os gráficos e que se indiquem o domínio e a imagem (o conjunto de valores que y assume). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio quadrático em x: termo x^{2} e termo constante -\tfrac{1}{4}.
  • O que se pede explicitamente: domínio e imagem.

Passo 2

Identificar a forma e o comportamento geral da função (o que já nos dá pistas para o gráfico).
  • Uma função do tipo \,y=ax^{2}+bx+c com a\neq0 é uma parábola.
  • Aqui a=1>0, logo a parábola se abre para cima (tem um mínimo).
  • A forma dada já está praticamente na forma vértice, pois
y=x^{2}-\tfrac{1}{4}=(x-0)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Isso indica que o vértice está em x=0.

Passo 3

Determinar o vértice com cuidado (passo essencial para desenhar a parábola).
  • A forma (x-h)^{2}+k tem vértice em (h,k).
  • Aqui (x-0)^{2}-\tfrac{1}{4} tem h=0 e k=-\tfrac{1}{4}.
  • Portanto o vértice é o ponto
(0,\,-\tfrac{1}{4}).
Esse é o ponto mais baixo da parábola (mínimo), porque a>0.

Passo 4

Eixo de simetria e direção da abertura.
  • O eixo de simetria da parábola é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja
x=0.
  • Como já dito, a parábola abre para cima (mais e mais positiva quando |x| cresce).

Passo 5

Calcular interceptos com os eixos (pontos úteis para o gráfico).
  • Intercepto com o eixo y: tomar x=0,
y(0)=0^{2}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{4}.
Logo o ponto (0,-\tfrac{1}{4}) é também o intercepto y (é o vértice).
  • Interceptos com o eixo x: resolver x^{2}-\tfrac{1}{4}=0. Assim
x^{2}=\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\tfrac{1}{2}.
Os interceptos com x são os pontos
\bigl(-\tfrac{1}{2},\,0\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(\tfrac{1}{2},\,0\bigr).

Passo 6

Verificar monotonicidade (útil para desenhar a forma precisa).
  • Derivada: para uma função y=f(x)=x^{2}-\tfrac{1}{4},
f'(x)=2x.
  • Zeros da derivada: f'(x)=0 em x=0 (o ponto crítico que é o mínimo).
  • Sinal de f':
    • Para x<0, f'(x)=2x<0 → função decrescente em (-\infty,0).
    • Para x>0, f'(x)=2x>0 → função crescente em (0,\infty).
      Isso confirma que x=0 é mínimo global.

Passo 7

Determinar domínio e imagem com justificativa clara.
  • Domínio: sendo um polinômio (expressão algébrica sem divisão por zero nem raiz par de expressão negativa), ele está definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Imagem (conjunto de valores de y): como a parábola abre para cima e tem mínimo y_{\min}=-\tfrac{1}{4} atingido em x=0, todos os valores de y são maiores ou iguais a -\tfrac{1}{4}. Portanto
\mathrm{Im}(f)=[-\tfrac{1}{4},\,\infty).

Passo 8

Instrução prática e rápida para desenhar o gráfico (passos que você pode seguir numa prova sem calculadora).
  1. Marque o vértice em (0,-\tfrac{1}{4}).
  2. Trace a reta de simetria x=0 (eixo vertical).
  3. Marque os interceptos com o eixo x em x=\pm\tfrac{1}{2}.
  4. Calcule mais alguns pontos se quiser confirmar a curvatura: por exemplo y(1)=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4},\qquad y(2)=4-\tfrac{1}{4}=\tfrac{15}{4}.Use os pontos simétricos x e -x (porque a função é par: f(-x)=f(x)).
  5. Ligue os pontos formando uma curva suave em forma de U que passa pelos pontos citados, com mínimo em (0,-\tfrac{1}{4}) e subindo à medida que |x| aumenta.

Passo 9

Resumo final rápido (para conferir antes da prova):
  • Parâmetros importantes: vértice (0,-\tfrac{1}{4}), eixo de simetria x=0, interceptos x=\pm\tfrac{1}{2} e y=-\tfrac{1}{4}.
  • Domínio e imagem conforme calculado no Passo 7.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}
\mathrm{Im}(f)=[-\tfrac{1}{4},\,\infty)

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