Construa os gráficos das funções em
definidas por:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
definida em
. O conteúdo principal é a transformação de uma exponencial de base
por reflexão vertical (o sinal “−”) e por translação vertical de
.
Passo 2
Começamos examinando a função base
Sabemos que
para todo
, que
é estritamente decrescente,
e
. Em
vale
.
Passo 3
Agora aplique a reflexão e a translação:
- A reflexão faz com que
seja crescente, pois deriva de um decrescente trocando o sinal. - A translação vertical de
desloca tudo para cima em 3 unidades.
Em particular, como
, temos
logo
é uma assíntota horizontal que o gráfico se aproxima por baixo.
Passo 4
Calcule alguns pontos-chave para o esboço:
Quando
,
e
.
Passo 5
Verificamos a monotonicidade e a concavidade:
pois
. Então
é estritamente crescente.
portanto
é côncava para cima.
Resposta
O gráfico de
é uma curva exponencial crescente e côncava para cima, que passa pelos pontos
,
,
, tende a
quando
e se aproxima da assíntota horizontal
quando
.