Construa os gráficos das funções em \mathbb{R} definidas por:
f(x)=3-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=3 - \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{x},
definida em \mathbb{R}. O conteúdo principal é a transformação de uma exponencial de base 1/2 por reflexão vertical (o sinal “−”) e por translação vertical de +3.

Passo 2

Começamos examinando a função base
g(x)=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{x}.
Sabemos que g(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}, que g é estritamente decrescente, \lim_{x\to+\infty}g(x)=0 e \lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty. Em x=0 vale g(0)=1.

Passo 3

Agora aplique a reflexão e a translação:
f(x)=3 - g(x).
  1. A reflexão faz com que 3 - g(x) seja crescente, pois deriva de um decrescente trocando o sinal.
  2. A translação vertical de +3 desloca tudo para cima em 3 unidades.
Em particular, como \lim_{x\to+\infty}g(x)=0, temos
\lim_{x\to+\infty}f(x)=3-0=3,
logo y=3 é uma assíntota horizontal que o gráfico se aproxima por baixo.

Passo 4

Calcule alguns pontos-chave para o esboço:
f(0)=3 - 1 = 2,\quad f(1)=3 - \tfrac12 = 2{,}5,\quad f(-1)=3 - 2 = 1.
Quando x\to-\infty, \bigl(\tfrac12\bigr)^{x}\to+\infty e f(x)\to-\infty.

Passo 5

Verificamos a monotonicidade e a concavidade:
f'(x)=-\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{x}\ln\!\Bigl(\tfrac12\Bigr)>0,
pois \ln(\tfrac12)<0. Então f é estritamente crescente.
f''(x)=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{x}\bigl(\ln(\tfrac12)\bigr)^{2}>0,
portanto f é côncava para cima.

Resposta

O gráfico de f(x)=3-(\tfrac12)^{x} é uma curva exponencial crescente e côncava para cima, que passa pelos pontos (-1,1), (0,2), (1,2{,}5), tende a -\infty quando x\to-\infty e se aproxima da assíntota horizontal y=3 quando x\to+\infty.

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