Sendo y=e^{x} para x pertencente a \mathbb{R}, expresse sua função inversa.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = e^x,
com domínio x\in\mathbb{R}, e pede para encontrar a função inversa f^{-1}. O conteúdo aqui é função exponencial e seu inverso, a função logarítmica.

Passo 2

Para existir inversa, f precisa ser bijetora. A exponencial e^x é estritamente crescente e contínua em \mathbb{R}, e seus valores variam de 0 a +\infty. Logo,
f\colon \mathbb{R}\to (0,\infty)
é bijetora, e a inversa existe.

Passo 3

Para achar f^{-1}, começamos com
y = e^x.
Em seguida, trocamos x por y e y por x:
x = e^y.
Daí isolamos y aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
y = \ln(x).

Resposta

A função inversa é
f^{-1}(x) = \ln(x),
com domínio x\in(0,\infty).

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