Construa os gráficos das funções em \mathbb{R} definidas por:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=2-3^{\mathrm{x}}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=2-3^x.
O conteúdo é transformações de uma exponencial básica g(x)=3^x: reflexão em relação ao eixo x e deslocamento vertical.

Passo 2

Começamos lembrando o gráfico de g(x)=3^x:
  • Domínio \mathbb{R}.
  • Imagem (0,\infty).
  • Cresce estritamente, com assíntota horizontal y=0.
    Agora, h(x)=-3^x reflete g em torno do eixo x, passando a ter imagem (-\infty,0) e ser estritamente decrescente.
    Finalmente,
f(x)=h(x)+2=-3^x+2
é h deslocada para cima de 2.

Passo 3

A partir daí obtemos:
– Domínio de f continua sendo \mathbb{R}.
– Imagem passa a ser
(-\infty,0)+2=( -\infty,2).
– Assíntota horizontal: como 3^x\to0 quando x\to -\infty, temos
f(x)\to 2 \quad(x\to -\infty),
portanto y=2 é assíntota horizontal.

Passo 4

Interceptos com os eixos:
– Intercepto em y: em x=0,
f(0)=2-3^0=2-1=1,
logo ponto (0,\,1).
– Intercepto em x: resolvendo f(x)=0,
2-3^x=0\implies 3^x=2\implies x=\log_{3}(2),
logo ponto \bigl(\log_{3}(2),\,0\bigr).

Passo 5

Monotonicidade e pontos adicionais:
– Derivada
f'(x)=-3^x\ln(3)<0\quad\forall x,
então f é estritamente decrescente.
– Alguns pontos para guiar o esboço:
f(-1)=2-\tfrac13=\tfrac{5}{3},\qquad f(1)=2-3=-1.

Resposta

O gráfico de f(x)=2-3^x é uma curva estritamente decrescente que:
  1. Aproxima-se de y=2 quando x\to -\infty (assíntota horizontal).
  2. Passa por (0,1) e por \bigl(\log_{3}(2),0\bigr).
  3. Cai para -\infty à medida que x\to +\infty.
    Em esboço, desenhe a assíntota y=2, marque os pontos citados e ligue-os com a curva típica de uma exponencial refletida e deslocada.

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