Encontre a parte real e a parte imaginária dos números complexos z abaixo e escreva-os sob a forma Re(z)+Im(z) j.
(e) (-1+j)^7

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a parte real e a parte imaginária de z = (-1 + j)^7, ou seja, escrever Re(z) e Im(z) e representar o resultado na forma Re(z) + Im(z),j. Esse conteúdo faz parte de números complexos, e vamos usar a forma polar e o Teorema de De Moivre para elevar z à sétima potência.

Passo 2

Primeiro, escrevemos z = -1 + j em forma polar. O módulo é
r = |z| = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz2,
e para o argumento, como x = -1 e y = 1, estamos no segundo quadrante. Assim,
theta = arctanl(1-1r) = arctan(-1)
Ajustando para o segundo quadrante, theta = tfrac3pi4. Logo,

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de De Moivre:

Precisamos reduzir o ângulo z^7 = l(raiz2r)^7 cisl(7 cdot tfrac3pi4r) = 2^7/2,cisl(tfrac21pi4r) = 8raiz2 ,cisl(tfrac21pi4r) a um valor em tfrac21pi4. Subtraindo [0,2pi) duas vezes, chegamos em 2pi = tfrac8pi4. Assim,

Passo 4

Sabendo que

multiplicamos por cisl(tfrac5pi4r) = costfrac5pi4 + jsintfrac5pi4 = -tfracraiz22 - jtfracraiz22,:
8raiz2
Portanto, a parte real é z^7 = 8raiz2l(-tfracraiz22 - jtfracraiz22r) = -8 - 8j e a parte imaginária é -8.

Resposta

-8 - 8j

Exercícios relacionados